Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
S
= (^x1, . . ., ta"Xn). Далее, частная производная dfjdx, квазиодно-родна степени 1 — аз типа «. Следовательно, в каждой точке сферы St по меньшей мере при одном s [ dfjdxs | ^
С другой стороны, функция /' имеет порядок не менее 1 -)-d0, где d0 — общая мера чисел as. Поэтому существует такая константа С, что при всех s яа St
, . Сравнивая с предыдущим неравенством, видим, что при достаточно малых t на сфере Si нет критических точек функций /0+9/', О<0<1. Поэтому степени отображений сферы на сферу, заданных градиентами /0 и /о+/', совпадают, что и требовалось доказать.
Замечание. Аналогично доказывается, что все достаточно близкие к /0 квазиоднородные функции той же степени квазиоднородности имеют ту же кратность jj.. Далее, поскольку множество невырожденных квазиоднородных функций данной степени связно, то кратность jj. одинакова для всех невырожденных квазиоднородных функций данной степени (и, следовательно, для всех полуквазиоднородных функций данной степени данного типа).
Кратность (J. критической точки О функции / можно определить также как размерность локальной алгебры
Qf = CHx1, ..., XMdfIdX1, ..., дЦдх„). 152
критические точки гладких функций
[ГЛ. II
Допуская вольность речи, мы будем называть базисом локальной алгебры функции / набор р. рядов (многочленов, ростков), становящийся базисом Qj над С после факторизации по идеалу.
Из доказанной теоремы вытекает
Следствие. Предположим, что-система-мономов ег, . .. .'. е^ является базисом локальной алгебры квазиоднородной части /0 полуквазиоднородной функции f. Тогда та же система мономов, задает и базис локальной алгебры функции /.
Доказательство основано на следующей лемме общего характера.
Лемма. Предположим, что семейство гладких^ функций /, непрерывно зависящих от конечного числа параметров, имеет при всех значениях параметров критическую точку 0 постоянной конечной кратности р.. Тогда всякий базис локальной алгебры функции, соответствующей^нулевому значению параметра, остается базисом и при^близких значениях параметра.
Доказательство леммы. Лемма вытекает из того, что если в конечномерном пространстве даны гладко зависящие от параметров подпространство и система векторов, образующая базис трансверсального пространства, то эта система останется базисом трансверсального пространства и при близких значениях параметров.
Чтобы сделать пространство конечномерным, достаточно про-факторизовать алгебру С [[^1, . . ., хп]] по достаточно высокой (например, fj.-f-1-й; см. п. 6.4) степени максимального идеала.
Доказательство следствия. Рассмотрим полу-квазиоднородную функцию /=/„+/'• Мы покажем, что переход от /0 к / можно рассматривать как малую деформацию. Построим однопараметрическое семейство функций ft(x) =t~xf (Ttx), где Ttx=(t\cx, . . ., F«x„). Имеем ft(x) — fo+t'1 f'(Ttx), где все коэффициенты второго слагаемого непрерывно зависят от t, так как порядок функции /' больше 1. По лемме базис локальной алгебры для /0 является базисом и для алгебры ft при достаточно малых t. Базис локальной алгебры для f( переходит в базис локальной алгебры для / под действием диффеоморфизма Tt, связывающего функции / и ft. Но каждый моном при диффеоморфизме Tt переходит в пропорциональный себе же моном. Поэтому моно-миальный базис алгебры Qд является не только базисом алгебры Q/( при малых t, но и базисом алгебры Qfl что и требовалось доказать.
Замечание. Число базисных мономов локальной алгебры квазиоднородной или полуквазиоднородной функции /, имеющих данную (квази) степень Ь, не зависит от выбора базиса в локальной алгебре. § 12]
кбази- и полуквазиоднородные особенности
153
Доказательство. Рассмотрим фактор-пространство
As/(A>s + AsnS),
где / = (dfjdxly . . дffdx,,), As — пространство рядов порядка S в Cflz1, . . хп]], А>ь — пространство рядов порядка, большего 8.
Число базисных мономов степени S равно размерности этого фактор-пространства и потому не зависит от выбора базиса.
Следствие. Число базисных мономов локальной алгебры функции /, имеющих данную обобщенную степень (при данном типе х), одинаково для всех полуквазиоднородних функций f данного типа ж степени d.
Доказательство. Достаточно рассмотреть невырожденные квазиоднородные функции (для полуквазиоднородной функции базис тот же). Многообразие невырожденных квазиоднородных функций фиксированной степени d (типа «) линейно связно (если оно не пусто, то оно является дополнением к гиперповерхности в линейном пространстве). Вдоль кривой, соединяющей две точки этого многообразия, число базисных мономов локальной алгебры, имеющих степень 8, локально постоянно, так как для близких функций годится один и тот же базис (лемма). Следовательно, оно постоянно, что и требовалось доказать.
12.3. Квазиоднородные отображения. Здесь вычислены • различные численные характеристики квазиоднородных отображений, в частности кратность р. и полином Пуанкаре р.
Зафиксируем тип квазиоднородности «=(ах, . . ., ая) в пространстве <СЯ с фиксированной системой координат. Мы будем рассматривать отображения F: (С!, 0) -> (С", 0) и пользоваться старинными обозначениями F (X1, . . ., хп) =(Рг(х), . . ., Fn(x)). Пусть <1 =(dx, . . ., dn) — вектор с неотрицательными компонентами.
