Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 1" -> 62

Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 1 — М.: Наука, 1982. — 303 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent11982.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 129 >> Следующая


Tpttir: /(х, У, z) = axyz + xr + y* + zr,

тремя однопараметрическими семействами параболических ростков:

Ps=T333: f(x, у, z) = x* + y3 + z* + axyz, а3 + 27=^0, f(x, у, = + ^ + +

ho = T2t3ti: f(x, у, z) = x3 + ye + z2 + ax2y2, 4с3 + 27 =^0,

и еще 14 исключительными однопараметрическими семействами, перечисленными в таблице (смысл столбцов которой разъяснен ниже):

*) Две функции называются R-эквивалентными, если одна превращается в другую при подходящей (диффеоморфной) замене независимых переменных. § 11] НАЧАЛО КЛАССИФИКАЦИИ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК

145

Обозначение Нормальная форма Показатели однородности Число Кок-стера Числа Долгачева Числа Габриэ-лова Двойственный класс
Qio X2Z+ у3+ 2* + ayz3 8 9 6 —24 2 3 9 3 3 4 Eii
Qu X2Z -J- у3 -J- yz3 -J- az6 7 6 4 -18 2 4 7 3 3 5 Z із
Q12 Л + У3 + Z6 + Wi 6 5 3 —15 3 3 6 3 3 6 <?12
Sii X2Z -f yz2 -)- у* -j- ay3z 6 5 4 —16 2 5 6 3 4 4 W13
S12 x2z -[- уz2 -J- ху3 -J- ay8 5 4 3 —13 3 4 5 3 4 5 S1Z
U1, X3 + У3 + z4 -J- axyz2 4 4 3 -12 4 4 4 4 4 4 Uli
Zi1 xsy + У5 -J- z2 -J- аху* 15 8 6 —30 2 3 8 2 4 5 EI3
Z12 хъу -г Xyi -I-Z2-J- ay8 И 6 4 —22 2 4 6 2 4 6 Zi2
Z із х3У -J- Ув +Z2 -J- аху6 9 5 3 —18 3 3 5 2 4 7 Qn
Wi2 Xі + У8 + Z2 -J- ах2у3 10 5 4 —20 2 5 5 2 5 5 Wli
И'I3 Xі -J- ху1 + z2-J- ауй 8 4 3 -16 3 4 4 2 5 6 Sn
Elt х3 + У1 + Z2 -J- аху8 21 14 6 —42 2 3 7 2 3 7 Eiz
E із X3 -J- ху6 -J- z2 + ау& 15 10 4 —30 2 4 5 2 3 8 Zn
E14 X3 + Уе + Z2 + ахуе 12 8 3 -24 3 3 4 2 3 9 Qio

Эти 14 особенностей можно получить из 14 треугольников на плоскости Лобачевского, точнее — из определенных ими дискретных подгрупп группы SU (1, 1). Нормальная форма с a—О описывает единственное соотношение между инвариантами алгебры целых автоморфных форм. Ровно для 14 треугольников эта алгебра имеет три образующих; углы этих треугольников — ¦к/(числа Долгачева).

Долгачев, которому принадлежит эта конструкция, и Пинкам указали также способ получения 14 исключительных особенностей из так называемых К—3 поверхностей (см. [54], [164]).

Теорема 3 (см. [6], [8]). Множество непростых ростков функций я > 3 переменных имеет коразмерность 6, а ростков модальности, большей 1, — коразмерность 10 в пространстве ростков функций с критическим значением 0.

Таким образом, всякое s-параметрическое семейство функций, где s < 6 (s <С Ю), можно сколь угодно малым шевелением привести в общее положение так, что ростки функций семейства во всех критических точках будут стабильно эквивалентны росткам теоремы 1 (теорем 1 и 2), с точностью до аддитивных постоянных.

§ 11. Начало классификации критических точек

В этом параграфе описаны основные этапы классификации критических точек голоморфных функций; результаты классификации и вычисления, необходимые для проведения различных 10 В. и. Арнольд и др, 146

КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ

[ГЛ. II

этапов, приведены в следующих параграфах. Все рассматриваемые функции голоморфны и имеют критическую точку 0 с критическим значением 0. Под эквивалентностью понимается Д-эквивалент-ность (два ростка функций эквивалентны, если они переходят друг в друга под действием биголоморфной замены независимых переменных).

11.1. Классификация по корангу второго дифференциала.

Определ ение. Корангом функции в критической точке называется коранг второго дифференциала.

Т е о р е м а. В окрестности критической точки коранга к голоморфная функция п переменных эквивалентна функции

/(X1, . . ., хк) + х\+1 + ... +X2n,

где второй дифференциал функции / в нуле равен нулю: f ? tns.

Доказательство. Это следствие леммы Морса с параметрами; см. п. 6.2, стр. 92 и п. 9.6, стр; 127.

Определение. Функции (разного числа переменных) называются стабильно эквивалентными, если они становятся эквивалентными после сложения с невырожденными квадратичными формами от дополнительных переменных; стабильная эквивалентность / и g означает обычную эквивалентность

f(xx, ..., Xlc) -f. х\+1 + . . . +Xl^giy1, . . ., yt) + yj+1+ .. • +у*.

Замечание. Можно доказать, что функции одного и того же числа переменных стабильно эквивалентны, если и только если они эквивалентны (см. [194]). Таким образом, переход к стабильной эквивалентности, не меняя классификации критических точек функций фиксированного числа переменных, позволяет сравнивать вырождения критических точек функций разного числа переменных.

Теорема. В окрестности конечнократной критической точки коранга 1 функция стабильно эквивалентна функции хт.

Доказательство: см. п. 9.6, стр. 127.

Кратность критической точки функции хт легко вычислить: р. =т—1.

Определение. Критическая точка коранга 1 кратности ц называется особенностью типа А . В точке типа A^ функция стабильно эквивалентна функции х*+1 в нуле.

Теорема. Множество функций п переменных с критической точкой 0 коранга k ^n имеет коразмерность k (&+1)/2 в пространстве ростков функций с критическим значением 0 в точке 0.

Доказательство: см. п. 2.2, стр. 24.

В частности, множество функций коранга 2 имеет коразмерность 3, коранга 3 — коразмерность 6, коранга 4 — кораз- S it]
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed