Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 1" -> 64

Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 1 — М.: Наука, 1982. — 303 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent11982.djvu
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 129 >> Следующая


§ 12. Квазиоднородные и полуквазиоднородные особенности

Здесь построен аппарат квазиоднородных и полуквазиодно-родных диффеоморфизмов для приведения к нормальным формам квазиоднородных и полуквазиоднородных особенностей.

12.1. Квазиоднородные функции и фильтрации.

Определение. Рассмотрим арифметическое пространство С" с фиксированными координатами X1, ¦ . ., х„. Голоморфная функция /: (С", 0) -> (С, 0) называется квазиоднородной функцией степени d с показателями Ot1, . . ., ап, если при любом X 0 имеем /(XaIrr1, . . ., Х"ихп) = Xdf (X1, . . ., хп). Показатели называют также весами переменных xs.

В терминах ряда Тейлора / =^fuX7e условие квазиоднородности степени 1 означает, что все показатели ненулевых членов ряда лежат на гиперплоскости

Пример. Функция х*-\-у3 — квазиоднородная степени 1 с показателями1/2, 1/3.

В дальнейшем мы будем рассматривать квазиоднородные функции степени 1 с рациональными показателями, 0 а„<^1/2. Такие функции автоматически являются многочленами. Гиперплоскость Г мы будем называть диагональю. Диагональ Г отсекает на осях координат отрезки длиньГа4=1/а,.

Определение. Квазиоднородная функция / называется невырожденной, если 0 — изолированная критическая точка (т. е. если кратность V критической точки 0 конечна).

Вырожденные "'квазиоднородные функции образуют алгебраическую гиперповерхность в линейном пространстве всех квазиоднородных многочленов с фиксированными показателями квазиоднородности, еели в этом пространстве есть хоть одна невырожденная функция. 150

КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ

[ГЛ. II

G каждым типом квазиоднородности (т. е. набором показателей квазиоднородности а) связана фильтрация в кольце степенных рядов (фуцкций, ростков и т. д.), определяемая следующим образом.

Определение. Мы скажем, что моном Xlc = X*' ... имеет (обобщенную) степень (или вес) d, если <(«, к/ = K1A1 + • .. ...-f-a Jcn = d.

Степени мономов — рациональные числа. Показатели всех мономов степени d (при данном типе) лежат на одной гиперплоскости, параллельной диагонали Г. Зафиксируем тип квазиоднородности, т. е. набор показателей ж.

Определение. Многочлен (степенной ряд, росток, функция) имеет порядок d, если все его мономы имеют степень d или выше; в случае, когда (обобщенная) степень всех мономов равна d, мы будем называть d (квази)степенъю многочлена; степенью нуля будем считать +со.

Многочлены (ряды, ростки) порядка d образуют линейное пространство Ad; Ad, CZ Ad при d <С d'. Порядок произведения равен сумме порядков сомножителей, поэтому Ad является идеалом в алгебре многочленов (рядов, функций). Обозначим эту алгебру через А. Фактор-алгебра AfAd называется алгеброй й-(квази)струй, а ее элементы — d-(квaзu)cmpyямu.

Под порядком <р (/) многочлена (ряда, ростка) мы будем обычно понимать наибольшее из чисел d, для которых f?Ad. Порядки всевозможных многочленов (рядов, ростков) принадлежат одной рациональной арифметической прогрессии: ? (/)?Z+d0, где d0 — наибольшая общая мера чисел а, (начальный отрезок прогрессии может быть заполнен значениями ? не полностью).

Определение. Многочлен (степенной ряд, росток) называется полуквазиоднородным степени d '~~с показателями «і, . . ., ?,, если он имеет вид /=/0+/', где /о — невырожденный квазиоднородный многочлен степени d с показателями a, a /' — многочлен^ряд, росток) порядка, строго большего d._

Иными словами, полуквазцоднородная функция получается из невырожденной квазиоднородной функции дописыванием мономов, показатели которых лежат выше диагонали. Заметим, что квазиоднородная функция не полуквазиоднородна, если она вырождена.

Зафиксируем какую-либо систему мономов, образующих базис локальной алгебры для невырожденного квазиоднородного многочлена /0. Пусть elf . . ., es — система всех мономов базиса, показатели которых лежат~"строго выше диагонали.

Теорема. Всякая полуквазиоднородная функция с квазиоднородной частью /0 эквивалентна функции вида /о+2?^?' яде et — константи. § 12]

квазй- и полуквазиоднородные особенности

151

Пример 1. Если І0 — хгу-\-ук, то / ~ /0.

Пример 2. Если /0 = .-r5-i- у5, то / ~ ж5-{- у5 -j- cxays.

Доказательство теоремы приведено в п. 12.6.

12.2. Кратность и образующие локальной алгебры полуквази-однородной функции. Мы докажем вначале, что мономиальный базис локальной алгебры квазиоднородной голоморфной невырожденной функции является базисом и для всех полуквазиод-нородных функций с данной квазиоднородной частью. Не нарушая общности, мы можем считать, что степень квазиоднородной части, d, есть 1.

Теорема. Кратность критической точки 0 полуквази-однородной функции f равна кратности критической точки О ее квазиоднородной части: (J. (/) =|л (J0).

Доказательство. Рассмотрим семейство топологических сфер

St = {x?С: l^h+.-.-bl^h=:«}, о. = 1/«,.

Число [а (/) равно степени отображения х (dfjdж)/| dfjdx |, X ? Si, при малых t. Для каждой точки х S1 по крайней мере одна из производных df0jdxs отлична от О (ввиду невырожденности /0). Следовательно, существует константа с такая, что на S1 max I dfjdxs | ^ с ]> 0. Заметим, что St = TtS1, где Tt (X1,. .., х„) =
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed