Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для доказательства всех этих утверждений полезно провести некоторые геометрические конструкции на плоскости показателей степени. Эти конструкции сводят анализ локальной алгебры к последовательности геометрических операций, напоминающей решение кроссворда. Техника «решения кроссвордов» применима 166
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
не только в этом примере, и мы изложим ее в несколько большем объеме, чем это необходимо для его разбора.
А именно предположим, что каждая из частных производных данной функции содержит не более двух мономов (что, очевидно, выполнено для /о). Соединим показатели мономов частной производной по X отрезком. Этот отрезок мы будем называть основным х-отрезком. Аналогичные основные отрезки определяются для остальных переменных. В нашем примере два основных отрезка
параллельны звеньям ломаной Г (рис. 48).
Основные отрезки изображают соотношения между образами своих мономов в локальной алгебре. Рассмотрим следствия этих соотношений. Назовем допустимым х-отрезком всякий сдвиг основного х-огрезка на целочисленный вектор с неотрицательными компонентами. Заметим, что два допустимых отрезка могут лежать друг на друге и даже геометрически совпадать (если один из них дг-отрезок, а другой — !/-отрезок], u нашем примере, впрочем, этого не происходит.
Два допустимых отрезка называются связанными, если они имеют общий конец. Допустимой цепью называется такой набор допустимых отрезков, что любой из отрезков набора соединен с любым другим последовательностью последовательно связанных отрезков набора. Допустимая цепь называется максимальной, если она не является частью другой допустимой цепи.
Циклом называется конечная последовательность последовательно связанных допустимых отрезков, в которой последний отрезок связан с первым. Цикл называется тривиальным, если при его обходе вдоль х-(у-) отрезков придется идти в одну сторону столько же раз, сколько в другую. (В нашем примере все циклы тривиальны, но если бы мы рассмотрели случай а=Ъ=4, то нам встретился бы и нетривиальный цикл (1, 3) -> (З, 1) -> (1, 3) из одного х- и одного г/-отрезка.)
Теперь мы можем сформулировать правила «решения кроссворда» для функции / с конечнократной критической точкой.
Предложение. 1. Если показатель монома принадлежит бесконечной допустимой цепи, то моном принадлежит идеалу, натянутому на частные производные функции.
2. Если все циклы тривиальны, то размерность р. локальной алгебры равна числу максимальных цепей. В этом случае можно
ь-г у*
Рис. 48.
§ 12] КВАЗИ- И ПОЛУКВАЗИОДНОРОДНЫЕ ОСОБЕННОСТИ 178
получить базис локальной алгебры, выбрав по одному (любому) моному из каждой максимальной цепи.
3. Если, кроме того, задана фильтрация, то, выбирая из всякой максимальной цепи один из мономов наивысшего порядка, мы получим правильный базис.
Доказательство непосредственно вытекает из определений.
Предложение. В примере f0=xa-\-'kx2y2-\-yb максимальные допустимые цепи следующие:
1) каждая из точек 1, х,...,х"~2, у, ¦ ¦ уь~2, ху имеет тривиальную допустимую цепь;
2) имеются три конечные максимальные допустимые цепи:
эГх ху2, X2у -> у1'1, ха х2у2 -v уь;
3) из всех остальных точек выходят бесконечные допустимые цепи.
Действительно, из рис. 48 видно, что допустимый отрезок хру4 -v xp~x+ayq~2 повышает порядок при q р ^ 1, a xpyq -» -V xp~2yq~1+b — при р q ^ 1. Порядки мономов с р= О, или с q = 0, или с р = q повышаются за два шага:
ха+к х2+ку2 -V xkyb+1,
Z2+V+* хк+а~1ук+ь~1.
Следовательно, максимальная допустимая цепь всякого монома, кроме перечисленных в 1) и 2), содержит мономы сколь угодно большого порядка и, значит, бесконечна.
Итак, указанные выше мономы образуют правильный базис и р.=а+6+1. Для проверки условия А достаточно вычислить порядки коэффициентов соотношений, которые мы построили выше, описывая допустимые цепи. Это вычисление несложно и здесь не приводится.
Итак, число мономов правильного базиса выше Г оказалось равным 0. Из теоремы на стр. 165 вытекает поэтому
Следствие. Всякая функция f с главной частью Z0=^a+ -\-'kx2y2-\-yb, где A=^=O, a ^ 4, 6^5, эквивалентна своей главной части.
Предположим, что диаграмма Ньютона функции / (X1, . . ., хп) имеет по точке на каждой из координатных осей (это не является ограничением, поскольку / имеет достаточную струю).
Теорема (Кушниренко [136]). Обозначим через V объем n-мерной области положительного ортанта ниже диаграммы Ньютона, через Vi — (п—1)-мерный объем под диаграммой Ньютона на і-й координатной гиперплоскости, через Vit j — (п—2)-мерный объем на координатной плоскости, не содержащей і-го и j-го базисных векторов, и т. д. Тогда для всех функций f с данной 168
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
диаграммой Ньютона
v(f)>n\У_(п-1)!2^ + (п-2)! IiVitj-... + 1,
< »</ причем для почти всех f имеет место равенство.
Например, для почти всех функций двух переменных с фиксированной диаграммой Ньютона |д.=2?—а—6+1, где S — площадь под диаграммой, а а и Ъ — координаты точек диаграммы на осях і (рис. 49).
