Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
До этого момента мы нигде не пользовались конечностью кратности (J-, так что сформулированное формальное утверждение доказано без этого предположения. Если же [А конечно, то достаточно длинный отрезок ряда Тейлора (степени ^+1, ср. п. 6.4) функции эквивалентен самой функции, поэтому приведение к нормальной форме осуществляется настоящим диффеоморфизмом.
12.7. Фильтрация Ньютона. Часто бывает полезно рассматривать фильтрации, в которых роль диагонали играет ломаная Ньютона (или, в многомерном случае, многогранник, обращенный выпуклостью к 0). Формальное определение состоит в следующем.
Пусть Ot1, . .а —фиксированный набор типов квазиоднородности. В і-й фильтрации моном Xh имеет степень ^ai, Jey = Cpi(Jc). Определим теперь ньютонову степень монома хи как
<р (Те) = min If1 (Je), ...,?р (fc)].
11* 164
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Определение. Степенной ряд имеет ньютонов порядок d, если все его мономы имеют ньютонову степень d или выше.
Заметим, что уравнение ср (Zc) = I определяет в пространстве R" показателей fc некоторую гиперповерхность Г, обращенную выпуклостью к 0. Мы будем называть Г диаграммой Ньютона *). В этих терминах можно сказать, что моном имеет ньютонову степень d, если и только если его показатель лежит на гиперповерхности аТ, полученной из Г гомотетией с коэффициентом d. Точно так же ряд имеет ньютонов порядок d, если показатели всех его мономов лежат на гиперповерхности аТ и за ней.
Сумму членов наименьшей (ньютоновой) степени в данном степенном ряду мы будем называть главной частью ряда. Ньютоново-однородной функцией степени d мы будем называть многочлен, все мономы которого имеют (ньютонову) степень d.
Аналогичные понятия определяются для векторных полей. Степень монома X^jdXi определяется как
ср (I — 1,.) = min <а ., I — 1,.>.
Заметим, что для любых функций f, g и любого векторного поля V имеем:
порядок fg^ порядок / -[-порядок g,
порядок 2 Vi ^ порядок / -f- порядок V.
Группы диффеоморфизмов порядка d, группы d-струй диффеоморфизмов и соответствующие алгебры Ли определяются так же, как в случае квазиоднородных фильтраций. Не имеет аналога для ньютоновых фильтраций лишь группа квазиоднородных диффеоморфизмов.
Определение. Ньютоново-однородная функция /0 степени d удовлетворяет условию А, если для всякой функции g порядка d+8 d, принадлежащей идеалу, натянутому на производные функции /0, существует разложение
где поле V имеет порядок S, а функция g' — порядок выше (І+0.
Квазиоднородная функция всегда удовлетворяет условию А.
Замечание. Алгебраисты формулируют условие А так: отображение фильтрованных пространств v -^uj является строгим.
*) Многогранник. Ньютона степенного ряда ложно определить как выпуклую оболочку объединения положительных квадрантов EJ с вершинами в показателях мономов, входящих в ряд с ненулевыми коэффициентами; диаграмма Ньютона есть объединение компактных граней этого многогранника. § 12] квази- и полуквазиоднородные особенности
165
Рассмотрим базис локальной алгебры ныотоново-однородной функции /0 конечной кратности р..
Определение. Базис е1г . . ., е^ из однородных элементов называется правильным, если для любого D элементы базиса степени D независимы по модулю суммы идеала 1—(д}0/дх) и пространства А>р функций порядка, большего D.
Предложение. Правильный базис всегда существует. Более того, всегда существует правильный базис, состоящий из мономов.
Доказательство. Мономы, показатели которых принадлежат DT, порождают А в mod A>s. Поэтому их образы в Ад/((Ад П I)JrA>n) порождают это линейное пространство, и, значит, из этих образов можно выбрать базис указанного фактор-пространства. Соответствующие выбранным базисным векторам прообразы являются мономами из А в, и мы включим эти мономы в наш базис локальной алгебры.
При достаточно больших D имеем A0 а I (так как р-Поэтому построенная система мономов конечна. Из построения ясно, что каждый вектор из А представим в виде линейной комбинации выбранных мономов и элементов идеала. Наконец, если бы наименьшая из степеней мономов, входящих с ненулевыми коэффициентами в соотношение Ci^e1jT. . ? I, была D со, то образы мономов е; степени/) в фактор-пространстве ABl((Anf\I)-\--\-A>d) были бы зависимы, вопреки выбору ev Следовательно, {е,} — базис локальной алгебры, что и требовалось доказать.
Число элементов правильного мономиального базиса, имеющих данную (ньютонову) степень однородности, не зависит от выбора базиса в локальной алгебре. Моном правильного базиса называется диагональным (наддиагональным), если его степень равна (больше) степени рассматриваемой фупкции /0.
Теорема. Если главная часть /0 функции / удовлетворяет условию А и имеет конечную кратность р., то функция f диффеоморфизмом приводятся к виду f ojCCtf1-Ar. • - jTCtfs, где el7 . . ., es — наддиагпнальные мономы правильного базиса.
Доказательство повторяет доказательство теоремы п. 12.6.
Пример. Рассмотрим функцию /0=д:а+л?2г/2+гД Где a ^ 4, 6 5, A=T^0. Покажем, что: 1) р.=а+&+1; 2) система мономов 1, х, . . ., of'1, у, ..., уь является правильным базисом; 3) выполнено условие А для фильтрации, заданной ломаной Г с последовательными вершинами (а, 0), (2, 2), (0, Ъ).
