Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
НАЧАЛО КЛАССИФИКАЦИИ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК
147
мерность 10. Следовательно, в одно- и двупараметрических семействах функций общего положения встречаются лишь особенности коранга 1, при числе параметров меньшем, чем 6, встречаются лишь особенности коранга, не большего 2, меньшем 10 — не большего 3. Таким образом, при классификации особенностей функций семейств общего положения с меньшим 6 числом параметров можно ограничиться функциями двух переменных, а при числе параметров, меньшем 10, — функциями трех переменных.
11.2. Простейшие особенности коранга 2. Классификация функций двух переменных" с нулевой 2-струей (/ ? ш3) начинается с классификации кубических членов ряда Тейлора. Легко доказывается
Теорема. г Кубическая форма двух переменных G-линейным преобразованием приводится к одному из видов4.
(в вещественном ' случае: x2y+if, . . .).
Далее нужно рассматривать каждый Рис. 47.
' из этих случаев в отдельности.
Теорема. Функция с начальной кубической формой х2у+у3 эквивалентна своей начальной форме.
Доказательство этой (несложной) теоремы мы отложим до п. 12.6, где указан общий метод.
Рассмотрим теперь случай 2). Воспользуемся диаграммой Ньютона (рис. 47), на которой ряду f—^ap lxpy9 соответствует носитель supp /, состоящий из целых точек (р, q) плоскости R2, являющихся показателями мономов, входящих в ряд с ненулевыми коэффициентами:
SUPP/= {(р, g)e R2: a?i,=^0}.
Метод поворачивания линейки Ньютона (см. [71 ]) состоит в том, чтобы провести через показатель отмеченного монома носителя прямую («линейку»), отделяющую~~ноль~от неотмеченных точек носителями поворачивать ее вокруг отмеченного показателя до тех пор, пока она не наткнется на показатель еще одного присутствующего монома (можно представить себе гвозди, вбитые в точках носителя).
F4 В рассматриваемом случае 2) присутствует единственный моном х2у степени ^ 3. Мы отмечаем его и начинаем с положения линейки, обозначенного пунктиром. Поворачивая линейку, мы натыкаемся по очереди на целые точки, отвечающие мономам у4, Xi/3 и у3, у*, Xyi и у7, ...
f^''' Подслучай а. Линейка натыкается на одну точку (к, 0) оси q. В этом случае доказывается, что все остальные точки носителя
10е148
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
не меняют класса эквивалентности функции: она приводится к нормальной форме з?у-\-ук (см. п. 12.6).
Подслучай Ь. Линейка натыкается на две точки, отвечающие мономам хук+1 и у2к+1.
В этом случае рассмотрим многочлен, определенный попавшими на линейку точками:
AX2у + Вхук+1 + Cyzk+\ A ^ 0.
Мы назовем этот многочлен главной частью исследуемой функции. Рассмотрим плоскость с координатами (х, z), где z =ук. Нули главной части определяют на этой плоскости три прямых
2 = 0, X = X1Z, X = X2Z.
Замены х=х'-\-"ку определяют диффеоморфизмы плоскости (х, у). При этих диффеоморфизмах главная часть преобразуется независимо от остальной части ряда для / (мономы, показатели которых расположены строго выше линейки, после замены дают вклад лишь в мономы с расположенными строго выше линейки показателями; подробнее см. п. 12.6).
Выбирая X, мы всегда можем обратить коэффициент В в ноль. Теперь подслучай Ь) сведен к подслучаю а). Кратность критической точки функции х?у-\-ук легко вычислить: и =&+1. ' Определение. Критическая точка, эквивалентная критической точке функции x2yJryv'~1, называется критической
точкой типа D,,.
р-
Все (конечнократные) точки коранга 2 с 3-струей х2у-\-уъ или х*у — одного из типов D^.
Множество функций с более сложными особенностями имеет коразмерность 5. Таким образом, в семействах с не более чем четырьмя параметрами встречаются лишь особенности А , р. ^ 5, D1 и Db *).
Ї-Ясно, что следующий шаг классификации (разбор случая 3)) требует поворачивания линейки вокруг показателя монома х3; разбор случая 4) начинается с классификации 4-форм от двух переменных и т. д.
Из сказанного видно, что классификация разбивается на несколько этапов: 1) поворачивание линейки, 2) исследование главной части, 3) исследование старших членов.
*) Это утверждение часто называют «теоремой Тома» или «правилом семи катастроф Тома». В действительности Том в 1969 г. анонсировал приводящую к такому же списку топологическую классификацию градиентных динамических систем (см. [180]). Соотношение между этой классификацией Тома и приведенной выше дифференцируемой классификацией примерно такое же, как между негомеоморфностью эллипса и гиперболы и теоремой о приведении квадратичной формы к каноническому виду.§ 12] КВАЗИ- И ПОЛУКВАЗИОДНОРОДНЫЕ ОСОБЕННОСТИ 149
Формальная техника, позволяющая справиться с этими вычислениями, основана на рассмотрении различных фильтраций в алгебре функций (или рядов). С каждой такой фильтрацией можно связать свои пространства квазиструй функций и свои фильтрованные группы квазиструй диффеоморфизмов и алгебры Ли (квази)струй векторных полей.
Простейший и наиболее часто встречающийся случай — это случай квазиоднородной фильтрации. В этом случае возникает также группа Ли квазиоднородных диффеоморфизмов, играющая в этой теории такую же роль, как полная линейная группа в случае обычных струй (который соответствует фильтрации по степеням максимального идеала).