Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 1" -> 63

Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 1 — М.: Наука, 1982. — 303 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent11982.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 129 >> Следующая


НАЧАЛО КЛАССИФИКАЦИИ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК

147

мерность 10. Следовательно, в одно- и двупараметрических семействах функций общего положения встречаются лишь особенности коранга 1, при числе параметров меньшем, чем 6, встречаются лишь особенности коранга, не большего 2, меньшем 10 — не большего 3. Таким образом, при классификации особенностей функций семейств общего положения с меньшим 6 числом параметров можно ограничиться функциями двух переменных, а при числе параметров, меньшем 10, — функциями трех переменных.

11.2. Простейшие особенности коранга 2. Классификация функций двух переменных" с нулевой 2-струей (/ ? ш3) начинается с классификации кубических членов ряда Тейлора. Легко доказывается

Теорема. г Кубическая форма двух переменных G-линейным преобразованием приводится к одному из видов4.

(в вещественном ' случае: x2y+if, . . .).

Далее нужно рассматривать каждый Рис. 47.

' из этих случаев в отдельности.

Теорема. Функция с начальной кубической формой х2у+у3 эквивалентна своей начальной форме.

Доказательство этой (несложной) теоремы мы отложим до п. 12.6, где указан общий метод.

Рассмотрим теперь случай 2). Воспользуемся диаграммой Ньютона (рис. 47), на которой ряду f—^ap lxpy9 соответствует носитель supp /, состоящий из целых точек (р, q) плоскости R2, являющихся показателями мономов, входящих в ряд с ненулевыми коэффициентами:

SUPP/= {(р, g)e R2: a?i,=^0}.

Метод поворачивания линейки Ньютона (см. [71 ]) состоит в том, чтобы провести через показатель отмеченного монома носителя прямую («линейку»), отделяющую~~ноль~от неотмеченных точек носителями поворачивать ее вокруг отмеченного показателя до тех пор, пока она не наткнется на показатель еще одного присутствующего монома (можно представить себе гвозди, вбитые в точках носителя).

F4 В рассматриваемом случае 2) присутствует единственный моном х2у степени ^ 3. Мы отмечаем его и начинаем с положения линейки, обозначенного пунктиром. Поворачивая линейку, мы натыкаемся по очереди на целые точки, отвечающие мономам у4, Xi/3 и у3, у*, Xyi и у7, ...

f^''' Подслучай а. Линейка натыкается на одну точку (к, 0) оси q. В этом случае доказывается, что все остальные точки носителя

10е 148

КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ

[ГЛ. II

не меняют класса эквивалентности функции: она приводится к нормальной форме з?у-\-ук (см. п. 12.6).

Подслучай Ь. Линейка натыкается на две точки, отвечающие мономам хук+1 и у2к+1.

В этом случае рассмотрим многочлен, определенный попавшими на линейку точками:

AX2у + Вхук+1 + Cyzk+\ A ^ 0.

Мы назовем этот многочлен главной частью исследуемой функции. Рассмотрим плоскость с координатами (х, z), где z =ук. Нули главной части определяют на этой плоскости три прямых

2 = 0, X = X1Z, X = X2Z.

Замены х=х'-\-"ку определяют диффеоморфизмы плоскости (х, у). При этих диффеоморфизмах главная часть преобразуется независимо от остальной части ряда для / (мономы, показатели которых расположены строго выше линейки, после замены дают вклад лишь в мономы с расположенными строго выше линейки показателями; подробнее см. п. 12.6).

Выбирая X, мы всегда можем обратить коэффициент В в ноль. Теперь подслучай Ь) сведен к подслучаю а). Кратность критической точки функции х?у-\-ук легко вычислить: и =&+1. ' Определение. Критическая точка, эквивалентная критической точке функции x2yJryv'~1, называется критической

точкой типа D,,.

р-

Все (конечнократные) точки коранга 2 с 3-струей х2у-\-уъ или х*у — одного из типов D^.

Множество функций с более сложными особенностями имеет коразмерность 5. Таким образом, в семействах с не более чем четырьмя параметрами встречаются лишь особенности А , р. ^ 5, D1 и Db *).

Ї-Ясно, что следующий шаг классификации (разбор случая 3)) требует поворачивания линейки вокруг показателя монома х3; разбор случая 4) начинается с классификации 4-форм от двух переменных и т. д.

Из сказанного видно, что классификация разбивается на несколько этапов: 1) поворачивание линейки, 2) исследование главной части, 3) исследование старших членов.

*) Это утверждение часто называют «теоремой Тома» или «правилом семи катастроф Тома». В действительности Том в 1969 г. анонсировал приводящую к такому же списку топологическую классификацию градиентных динамических систем (см. [180]). Соотношение между этой классификацией Тома и приведенной выше дифференцируемой классификацией примерно такое же, как между негомеоморфностью эллипса и гиперболы и теоремой о приведении квадратичной формы к каноническому виду. § 12] КВАЗИ- И ПОЛУКВАЗИОДНОРОДНЫЕ ОСОБЕННОСТИ 149

Формальная техника, позволяющая справиться с этими вычислениями, основана на рассмотрении различных фильтраций в алгебре функций (или рядов). С каждой такой фильтрацией можно связать свои пространства квазиструй функций и свои фильтрованные группы квазиструй диффеоморфизмов и алгебры Ли (квази)струй векторных полей.

Простейший и наиболее часто встречающийся случай — это случай квазиоднородной фильтрации. В этом случае возникает также группа Ли квазиоднородных диффеоморфизмов, играющая в этой теории такую же роль, как полная линейная группа в случае обычных струй (который соответствует фильтрации по степеням максимального идеала).
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed