Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Примеры. 1. Если а > 1, то Iimn-^00 у/а = 1.
Действительно, л/а = 1 + аП} ап > 0. Тогда
Xrl1 Л а-і
a = (I-Han) > I + nan, 0 < Otn <-.
п
По утверждению 5 имеем Iim o;n = 0, откуда следует, что Iim у/а =
П—ЮО п—*оо
I.
2. Iim I.
п—юо
Действительно, положим ^/п — I+ Oin. Тогда
ПІП — I) о п(п — I) О /2
n = I + nan + —'-Ct2n + • ¦ • > -Ц-—J-a2n, 0 < On <
п- I
По утверждению 5 имеем Iim ап О, откуда следует, что
п—юю
lim -t/n = I.
п—юо
3. Пусть Iim an = а. Тогда
П—ЮО
.. а\ +----b «п
Iim -— а.
п—юо Tl
Действительно, пусть bn = an — а. Тогда Iim 6„ = 0, и достаточно
п—юо
доказать, что
Iim + - + = 0.
п—юо Tl
42 Так как {6П} — бесконечно малая последовательность , то существует с > 0 такое, что при всех п имеем
j6n| < с при всех п.
Кроме ТОГО, ДЛЯ любого Є > 0 существует По = По (є) такое, что при всех п > и о справедливо неравенство )6П| < є. Следовательно,
п
<епо + (п - п0)е < ~ 11 11
если только Ciiofn < є, п> Ciiofe, т.е. її > max ^no, сио/е). Отсюда уже легко следует требуемый результат. Доказательство закончено.
Теоремаї (теорема Штольца). Пусть: 1) yn+i > уп > 2) Iimn-Jl00 уп = существует предел
О, 2) Iimn-Jl00 Уп = +OO7 3) существует Iimn^oc f"+1 = I- Тогда
j/n + l Jr п
Iim — = I.
уп
Доказательство. Из условия теоремы вытекает, что ^;""1"' = I + где ап — бесконечно малая последовательность.
Irn-f 1 — JVn
Поэтому для всякого є > О существует N = N(e) такое, что при всех п> N имеем |an| < Sf2.
Полагая значение номера равным последовательно N,..., п, получим следующую систему равенств:
а?п+і - ІУп+і ~хп- Iyn + an(yn+i - t/n),
XN+1 — IyN+1 = XN - IyN + OtN{VN+1 * УN)-
Сложим эти равенства:
ХП + 1 - ІУп + \ = XN - IyN + <*п{Уп + \ - Уп) +----h ах(ук+1 - yN).
Заметим, что все разности вида уь+\ ~ yk, к = I,.. .,N в этом равенстве положительны. Поэтому выполняя очевидные арифметические преобразования и переходя к неравенствам, получим
fcn + l -ІУп + \ I < I^N -IyN I + і»п|І2/гг + 1 - Уп [+••• + |ajv||j/jv+l ~2/Jv|, kn+1 -Iyn+1І < \xN -IyNI -I- \e/2\{yn+1 -yn) + - ¦• + \ef2\{yN+x - yN),
Xn+1 Уп+1
-I
< jg'jV - IpN I g Уп +1 - yN
Уп + l
Уп +1
43 Поскольку lim уп = -foo, то существует пі
п—юо
всех п > пі справедлива оценка
= пі (є), такое, что для
IXN - /улг! ?
Уп+1 2
Положим по = max(ni,iV). Тогда для любого п > пі будем иметь
Xn+1 Уп + 1
-/
<
Следовательно, при п —У оо имеем хп/уп —У I. Теорема 1 доказана. Лекция 7
§ 5. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА. ЧИСЛО "е" И ПОСТОЯННАЯ ЭЙЛЕРА
Определение 1. Последовательность называется невозрастающеЙ, если хп+\ < хп для всех п 6 H (обозначение:
неубывающей, если хп+\ >
хп для всех натуральных тг (обозначение: Xn^);
убывающей, если < хп для всех ті Є N (обозначение: хп .Ц,);
возрастающей,
если xn+i > хп (обозначение: хп
W-
Теорема 1 (теорема Вейерштрасса). Пусть {ап} — неубывающая я ограниченная сверху последовательность. Тогда {ап} сходится и Iim а„ = sup{an}.
Доказательство. Так как {an} ограничена сверху, то существует sup{an}. Пусть / = sup{an}. Покажем, что Iim an =/.
п—юо
Другими словами, требуется доказать, что
an = an -I
есть бесконечно малая последовательность, т.е. что для любого є > О существует номер По = По (є) такой, ЧТО при ДЛЯ всех Tl > По имеем IQn I < ?. Но sup{a„} = 0. Это значит, что:
1) an < 0 для любого n6N;
2) для любого є > 0 найдется число к такое, что — є < ajt < 0. Но Ok не убывает, поэтому при всех п > к имеем
< Qfc < оп < 0, |an| < < є.
Таким образом, в качестве По — по(?) можно взять указанное выше число к.
Теорема2. Невозрастающая, ограниченная снизу последовательность имеет предел, равный inf{an}.
Д
оказательств о. Вместо {an} рассмотрим последовательность {6n}, Ьп — —ап. Тогда inf{an} = — sup{6„} и теорема 2 следует из теоремы 1.
45 Пример. Итерационная формула Герона. Пусть
*„+, = і (*„ + ?),
где а — фиксированное положительное число, ж і — любое положительное число. Докажем, что {хп} — убывающая последовательность при п > 2, ограниченная снизу величиной у/а, и что Iimn-^00 хп = у/а. Действительно, имеем:
1) Х.+1 - у/a =і(хя + ?) -VG= 1?^ >0;
2) *„-= z„-?(*„ +^) = >0.
Из предыдущих формул получим Xi > • • > хп > у/а. Далее, в силу теоремы Вейерштрасса для монотонной последовательности существует Iim хп — х > у/а > 0. Тогда справедливо
Ti —У оо
равенство
1 Л- a^
Iim хп+1 = -1 iim хп +
п-юо 2 \п^юо Iim XnJ
п-+оо
т. е.
При вычислении квадратного корня из положительного числа по итерационной формуле Герона число верных десятичных знаков быстро растет. Важно отметить, что если в процессе вычислений допущена ошибка, то в дальнейшем она будет автоматически исправлена (саморегулирующийся итерационный процесс).
Дадим другое доказательство того, что хп у/а при п —> оо. Из равенства
, /т (Sn ± y?)2
xn+i ± л/а = ---
лхп
имеем
