Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
1) доказать это утверждение для п = 1;
2) предположить его справедливость при п = к и к > 1;
3) доказать, что оно верно при п = A:-f 1.
Действительно, отсюда следует, что высказанное утверждение верно для всех натуральных п. Допустим противное. Тогда множество тех п, для которых утверждение неверно, содержит наименьший элемент т. Число тф 1, поскольку утверждение верно для п = 1. Число т не может быть больше 1, так как утверждение в этом случае было бы верно для т — 1 и в силу п. 3 оно было бы справедливо и для т, что противоречит выбору числа т.
Замечание. Методом математической индукции можно доказывать утверждения, справедливые и при п > т, где т > 1. В ходе доказательства надо заменить первый шаг: доказать утверждение при п = т, а все остальное оставить, как и прежде, при необходимости пользуясь тем, что п > т.
Перейдем к рассмотрению формулы бинома Ньютона. Сначала определим величину
n! = n(n-1)...2-1, 0! = 1
29 (п! читается: эн-факториал). В частности, имеем
Oi - 1, 1! = 1, 21 = 2-1 = 2, 31 = 3-2-1 = 6 и т.д. Теоремаї. Имеет место равенство (формула бинома Ньютона)
(l + x)n = C0n + С1пх + --+Скхк + -- + С?хп. (Коротко эту формулу можно записать так:
п
(1 + *)» = ? С***,
A=O
п!
где Ck = (?) = 77--'-ГТ7 — биномиальный коэффициент.)
* *!{« — А:)!
Доказательство проведем методом математической индукции.
1. При п = 1 формула верна: 1 + х = 1 + х, поскольку
- G) -
2. Пусть формула бинома Ньютона справедлива при п = і, і > 1.
3. Докажем, что она верна при п = t + 1. Сначала докажем вспомогательное утверждение о биномиальном коэффициенте: при 0 < k < п — 1 имеем
CHiO-G::)-
Действительно,
п! п!
+
к\(п — к)\ (к + \)\(п ~ к — 1)!
n! { \ 1 \ /п+Г
+
к\{п-к- 1)!\п-к k+lJ \k+lj'
Далее имеем
(1+х}'+1 = (1 + аг)'(1 + х) =
і + 1\ ft + 1\ /t+l\ t ft + 1
ИГ)
?:+---+( , Ut +
0 7 Viy V t J \ t
1X
t+i
зо Теорема 1 доказана.
Замечание. Подобным образом доказывается и формула для полинома Ньютона от s неизвестных вида
(«+»+-+«г= E
где kit..., kg — целые положительные числа.
При изложении теории предела последовательности нам потребуется приводимое далее неравенство Бернулли.
Теорема 2. При х > — 1, і/Оя при целом п >2 справедливо неравенство (неравенство Бернулли)
(1 + х)п > 1 -I- хп.
Доказательство (по индукции). Сначала убедимся, что при n = 2 оно верно. Действительно,
Ц + х)2 = 1 + 2х 4- X2 > 1 + 2х.
Предположим, что для номера n — к оказалось, что утверждение справедливо:
(1 4- х)к > 1 4- кх, где к >2. Докажем его при n = к + 1. Имеем
(1 + x)k+1 =(14- х)к(\ + х) > (1 4- ]fc*)(l + х) = = 1 + (Jt 4- 1)х 4- X2 > 1 + (* + 1)х.
Теорема 2 доказана.
Следует отметить, что метод математической индукции допускает многочисленные, иногда неожиданные, модификации. В качестве примера приведем доказательство одной теоремы из книги известного норвежского математика Т. Нагелля [34].
Под методом мультипликативной индукции мы будем понимать доказательство, которое проводится по следующей схеме.
1. Опытным или каким-либо другим путем выдвигается гипотеза о том, что для каждого номера n(> 1),выполнено свойство Е.
2. Проверяется, что свойством E обладают все простые числа р.
3. Предполагается, что некоторое натуральное число т обладает свойством Е.
31 4. Исходя из предположения индукции доказывается, что числа вида тр тоже обладают,этим свойством.
5. Отсюда по теореме об однозначности разложения на простые сомножители натуральных чисел, больших единицы, вытекает, что свойством E обладают все натуральные числа, и тем самым установлена справедливость гипотезы из пункта 1 ([34], с. 16).
Докажем этим методом свойство мультипликативности функции Мёбиуса, определяемой на множестве натуральных чисел следующим образом:
л = 1,
р2 делит п,
п = pi.. - pr, Pk Ф Puk Ф 1,1 < k,I < г.
Будем говорить, что функция /(n) натурального аргумента является мультипликативной, если для любых взаимно простых чисел тип справедливо равенство f(mn) = f(m)f(n).
Достаточно доказать утверждение о мультипликативности функции Мёбиуса только для чисел m и п, не делящихся на квадрат простого числа, т.е. бесквадратных чисел. Зафиксируем произвольное т. Покажем, что утверждение имеет место для п = р, где р — произвольное простое число. Действительно, поскольку (тп, п) = 1, то ц(тпр) = ( —1)г+1, если т = pi .. .рг и pi,;.. ,рг — различные простые числа. Следовательно,
/j(mp) = р{т)ц(р).
Пусть утверждение верно для п = к. Докажем его для п = кр, где р — произвольное простое число. Так как п — бесквадратное число, то (fc,p) = 1. По условию (m,n) = 1, поэтому (тк,р) = 1. Тогда по доказанному утверждению для простых чисел и по предположению индукции имеем цепочку равенств
?(mn) — р(ткр) = ц(тк)р{р) =
= ц(т)^{к)р{р) = fi(m)?(kp) = p{m)?{n).
Тем самым мультипликативность функции Мёбиуса доказана.
Заметим, кстати, что функция Мёбиуса возникает во многих областях математики, играя важную роль при изучении ее дискретных объектов.
