Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Докажем еще одно свойство вещественных чисел.
26 Jl е м м а 1. Для любых вещественных х, у E IR с условием х < у существует рациональное число m/n Є Q такое, что х < ^ < у.
Доказательство. В силу аксиомы Архимеда (свойство 16°) для положительного вещественного числа у — X существует натуральное число п такое, что справедливо неравенство п(у — х) > 2. Отсюда следует, что интервал (nx, пу) имеет длину, превосходящую 2. Следовательно, на этом интервале найдется целое число т такое, что пх < т < пу (например, т = [nt/] — 1). Согласно свойству 15° из последнего неравенства получим искомое неравенство.
Лемма 1 доказана.
Замечание. Так же просто показывается, что между любыми числами X < у найдется иррациональное число. Действительно, в силу леммы 1 между числами х/\/2 и у/\/2 лежит некоторое рациональное число m/n. Но тогда иррациональное число т\/2/п находится на интервале (х,у).
§ 5. ЛЕММЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ МНОЖЕСТВ, О СИСТЕМЕ ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СТЯГИВАЮЩИХСЯ ОТРЕЗКОВ
Л е м м а 1 (об отделимости множеств). Пусть А и В — непустые множества на вещественной прямой, т.е. А ф 0, В ф 0, А С Ж, ? Cl. Пусть также для любых a E А и для любых b E В выполнено неравенство a < b.
Тогда существует число х такое, что для всех a E А и для всех b € В справедливо неравенство a < х < Ь.
Д о к а з а тельств о. Из определения множества В следует, что каждая его точка является верхней гранью множества А. Положим X = sup А. Тогда, поскольку х — это верхняя грань, для всех a € А имеем неравенство a < х, и так как х — точная верхняя грань А, то х < b для любого b Є В, т.е. для всех a E А и для всех 6 E В имеем a < х < Ь. Лемма 1 доказана.
Определение 1. Системой вложенных отрезков называется множество My элементами которого являются отрезки, причем для любых Ai, Л2 E M выполнено одно из условий: Ai С A2 или А2 С Ai, т.е. все точки одного отрезка принадлежат другому отрезку.
Л е м м а 2 (о системе вложенных отрезков). Пусть M — система вложенных отрезков. Тогда существует число X такое, что для любого отрезка' AeM имеем, что х E А. Это значит, что все отрезки А яз множества M имеют общую точку х.
27 Доказательство. Пусть А — множество левых концов отрезков, принадлежащих М, В — множество их правых концов. Тогда для всех a E А и для всех Ь Є В имеем а < Ь. Действительно, пусть а — левый конец отрезка [0,6'] € M и Ь — правый конец другого отрезка [a', Ь] Є М.
Возможны два случая: 1) [a', b] С [а, 6'] ; 2) [а',&] D
В случае 1) имеем а < а' < 6 < Ь', ав случае 2) имеем а' < а < Ь' < Ь,
Тогда в силу леммы об отделимости существует число X такое, что для любого отрезка [a, Ь] Є M справедливо неравенство а < х <6. Лемма 2 доказана.
Замечание. С помощью леммы 2 (о системе вложенных отрезков) можно доказать несчетность множества точек отрезка. (Указание. Предполагаем, что все точки пересчитаны. Отрезок делим на три части. Тогда точка с номером один не принадлежит одному из этих отрезков. Делим его на три части. Точка с номером два не принадлежит одному из получившихся отрезков деления и т.д. По лемме 2 существует точка х, принадлежащая сразу всем отрезкам, но эта точка не занумерована.)
Определение 2. Система M вложенных отрезков называется последовательностью вложенных отрезков, если все эти отрезки занумерованы, причем любой отрезок с большим номером содержится в любом отрезке с меньшим номером.
Определение 3. Последовательность вложенных отрезков называется стягивающейся, если среди отрезков, в нее входящих, имеются отрезки сколь угодно малой длины. Другими словами, каково бы ни было положительное число є, в последовательности стягивающихся отрезков содержится и такой отрезок, длина которого меньше е.
JI е м м а 3. Последовательность стягивающихся отрезков содержит общую точку и притом только одну.
Доказательство. Первая часть утверждения следует из леммы 2.
Докажем его вторую часть. Если бы все отрезки содержали одновременно две различные точки a и 6 (где a < 6), то тогда длина каждого отрезка из M была бы больше, чем Ь — а > 0, но это не так, поскольку по определению в M есть отрезки и меньшей длины. Теперь лемма 3 доказана полностью. Глава II
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция 5
§ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. БИНОМ НЬЮТОНА И НЕРАВЕНСТВО БЕРНУЛЛИ
Для обоснования метода математической индукции мы будем использовать следующее свойство натуральных чисел: в любом непустом подмножестве множества натуральных чисел существует наименьшее число.
Убедимся в том, что данное свойство действительно имеет место. Для этого возьмем какой-нибудь его элемент (это можно сделать, так как данное подмножество не пусто). Если окажется, что выбранный элемент минимален, то свойство доказано. В противном случае натуральных чисел, меньших данного числа, конечно. Рассматривая их последовательно, мы найдем требуемый минимальный элемент.
Метод математической индукции состоит в следующем: для справедливости любого утверждения, высказанною для всех натуральных чисел п > 1, достаточно:
