Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. В силу условия имеем, что an = an —I — бесконечно малая последовательность. Тогда вне |/|/2-окрестности нуля лежит только конечное число членов последовательности {«*„}. Пусть по — самое большое значение номера таких членов; тогда при всех П > По имеем IQffiJ < |/|/2. Отсюда при этих п получим
(I = Ctn- а„)
|/| = |ап - an\ < Kl + I - а„| = Kj + Kl-
Следовательно,
Kl > Kl - Kl > |/|- Щ = Щ,
что и требовалось доказать.
39 Утверждение 5. Если ап -Wi, Ьп —у I2 при п —> оо, то cn = an ± bn —У I1 ± I2 при п —> оо. Другими словами, для сходящихся последовательностей предел их суммы равен сумме их пределов.
Доказательство. Из условия имеем Qtn = ап —1\, ?n = t>n — Ь — бесконечно малые последовательности. Следовательно,
сп - (I1 ± I2) = (а„ ± Ьп) - (h ± I2) = an ± ?n = 7п —
бесконечно малая последовательность. Значит, из определения предела имеем
Iim сп =1\ ±12,
п—юо
что и требовалось доказать.
Утверждение 6. Если ап —у l\, Ьп —»• I2 при п —> оо, то cn = anbn —»¦ /1/2 яри ті —у ао (предел произведения равен произведению пределов).
Доказательство. Имеем an = 11 + f^n) On cn = anbn = Iil2 + QinI2 + ?nh + an/?r» = hh + Tn- Ho 7n — бесконечно малая последовательность, так как она есть сумма трех последовательностей, каждая из которых есть бесконечно малая последовательность. Отсюда
Iim сп = Iil2.
п—юо
Доказательство закончено.
Утверждение 7. Пусть Iim an = li, iim bn = I2, I2 ф 0. Тогда
П—ЮО п—юо
V Gn 1\
Iim — = —, т.е. если предел знаменателя не равен нулю, то предел
п—юо On I2
отношения равен отношению пределов.
Доказательство. Рассмотрим последовательности а,
сп = — и
*п
ьп
h Cln h anh — Wl , , 1 a L 1
In = Cn - — = ---— = ----, an = I1 +ап = an - і 1, Pn = bn-I2.
'2 t>n 12 0n(2
Из условия вытекает, что аП) ?n есть бесконечно малая последовательность . Нам достаточно доказать, что тоже является бесконечно малая последовательность. Для этого запишем ^n в виде
(h + an)h - (I2 + ?n)h OinI2 — ?nli 1
7n =
bj2 I2 bn
OtnI2 - ?nli
іеперь заметим, что последовательность -j- является бес-
h
конечно малой в силу утверждений 5 и б, а последовательность Ifbn ограничена в силу утверждения 4. Но тогда по теореме 4 §2 последовательность fn является бесконечно малой. Таким образом, Iim сп = Iifl2, что и требовалось доказать.
П-ЮО
40 Пример. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Пусть sn = a -f aq +----b ад""1. Тогда
п-1 П a-aqn
qsn=aq-\-----aq + aq , Sn = —-.
1 - q
Так как при \q\ < 1 имеем {g"} — бесконечно малая последовательность, то
s = lim Sn — --.
п-юо 1 — q
Доказательство закончено.
Заметим, что величину s можно представить в виде
s = lim Sn — --.
п-юо 1 — q
где sn = Yl1^-I аЯк~1 называется п-й частичной суммой ряда, а величина rn = s — Sn — остатком ряда.
§ 4. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В НЕРАВЕНСТВАХ Утверждение 1. Пусть lim ап = I; тогда., если для всякого п
п-Юо
имеет место неравенство ап > с (или ап > с), то I > с.
Доказательство. Из условия имеем, что ап = ап — I — бесконечно малая последовательность, причем ап = ап —
с - I
I > с — I. Если допустить, что с — I > 0, то тогда при є = -
, 2
получим, что є-окрестность нуля вообще не содержит ни одной точки последовательности {ап}. Это противоречит тому, что {с*п} есть бесконечно малая последовательность. Значит, с — I < 0, / > с, что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Пусть Iim ап = I; тогда, если ап < с (или ап < с)
п-юо
при всех п Є N, то I < с.
Доказательство. Если bn = —ап, то Ьп —I при п >¦ оо, Ьп > —с (или Ьп > —с). Тогда из утверждения 1 имеем, что —I > —с, т.е. I < с, что и требовалось доказать.
Утверждение 3. Пусть Iimrwoo ап = h, Iimn^00 bn =I2. Тогда:
1) для ап < Ьп имеем 1\ < /2;
2) для ап < Ьп имеем 11 < h-
Доказательство. Рассмотрим сп = Ьп —ап. По условию сп > 0 (или сп > 0 ) при всех п и сп S = I2 — h при п -> оо.
Согласно утверждению 1 в обоих случаях имеем S > 0, т.е. /2 > h, что и требовалось доказать.
41 Утверждение 4. Если {<*„} — бесконечно малая последователь-ность и при всех натуральных п имеем \?n\ < otn, то ?n — тоже бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Из условия следует, что любая ^-окрестность нуля вместе С ТОЧКОЙ Ctn содержит и точку ?n, так что вне этой е-окрестности могут находиться ?n только с такими номерами, для которых |а„| > е. Но так как {<*«} — бесконечно малая последовательность, ТО ИХ ЧИСЛО конечно, И поэтому {?n} — тоже бесконечно малая последовательность. Доказательство закончено.
Утверждение 5. Пусть an < cn < bn для всех п Є N, и пусть Iimfwoo an = І, Ішіп-юо bn = I. Тогда существует предел Iimn^00 сп существует и равен I.
Доказательство. Из условия следует, что 0 < cn ~ ап < Ьп — an. Но справедливо соотношение (6n — an) —>• 0, т.е. Ьп — ап — бесконечно малая последовательность . Но тогда по утверждению 4 (сп— ап) — тоже бесконечно малая последовательность, т.е. (cn — an) —У 0. Следовательно, cn = (cn - an) + ап 0 + / = / при п оо, что и требовалось доказать.
