Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Определение 3. Пусть множество D С А (где А — область определения }{х)) и пусть существует с > 0 такое, что |/(х)| < с при всех X Є D. Тогда функция f(x) называется ограниченной (числом с) на множестве D.
Аналогично определяется ограниченность функции /(х) на множестве D сверху и снизу.
Определение 4. Функция, ограниченная (ограниченная сверху, снизу) на каком-либо окончании базы В, называется финально ограниченной ( финально ограниченной сверху, снизу) относительно этой базы.
Утверждение 1. а) Пусть f(x) = с при всех х Є b, где b — некоторое окончание базы В. Тогда Iim/(х) = с.
б) Если предел функции по базе В существует, то он единственен.
Доказательство, а) Для любого є > 0 возьмем окончание b € В. Тогда при всех х € b имеем |/(х) — cj = 0 < е. б) Допустим противное, т.е. что существуют Ii ф I2 такие, что
Iim /(х) = Ii, Iim /(х) = I2-
о В
Возьмем є = Тогда:
Bfri= fri(e) Є В такое, что V х Є fri имеем |/(х) — Z1I < є; Sb2 = b2(є) Є В такое, что V х Є b2 имеем |/(х) — 12 \ < е.
По определению базы существует 63 такое, что 63 С ?>і П 62. Выберем какое-нибудь х Є 63. Тогда имеем
I'l - Ы = \(f(x) -I2) - (f(x) - h )| < |/(х) ~l2\ + 1/(*) -h\<2e = Ii1 -l2\, что невозможно. Утверждение 1 доказано полностью.
59 Утверждение 2. а) Если lim f(x) = I, то функция f(x) финально
В
ограничена числом |/| -f- 1.
б) Если Iim f(x) = I и I ф 0, то функция д(х) = 1 /f{x) финально в
ограничена числом 2/\1\ на окончании b(\l\/2), а функция f(x) на том же окончании имеет знак, совпадающий с I.
Доказательство.
Для базы В\ (ж —У жо) В общем случае
а) Возьмем є = 1. Тогда найдется S = 8(1) такое, что при всех х из проколотой ^-окрестности имеем І/М-ІК1. Отсюда при всех х: 0 < |ж — Хо| < ^ имеем \f(x)\ = \(f(x)-l)+l\< < IZM-'I+ 1*1 < i + KI» что и требовалось доказать. а) Возьмем є = 1. Тогда найдется b = 6(1) — окончание базы В такое, что при всех х Є b имеем |/(х) -/| < 1. Отсюда при всех х Є b получим IZMI = KZM-O+'I < <|/(х)-/|+|/|<1 + |/|, что и требовалось доказать.
б) Разберем только случай I > 0 (второй случай аналогичен). Возьмем е = 1/2. Тогда найдется S = >0 такое, что при всех х: 0 < |ж — Xol < ^ имеем I f(x) -~1\< є = 1/2. Следовательно, справедливы неравенства: f(x) - I > —1/2, f(x)>l/2 > 0, 0 < g(x) = 1 //(«) < 2/1. Утверждение 2 доказано. б) Разберем только случай I > 0 (второй случай аналогичен). Возьмем є = 1/2. Тогда найдется b = Ь(є) >0 — окончание базы В такое, что при всех х ? Ь имеем \f(x) - /| < є = 1/2. Следовательно, справедливы неравенства: f(x)-l >-1/2, /(х) > 1/2 > 0, 0 < g(x) = l/f(x) < 2/1. Утверждение 2 доказано.
Утверждение 3. Пусть существуют пределы
Hm f(x) = h, lim g(x)=l2. и в
Тогда справедливо равенство
lim(/(x) +fif(®)) = /i +/2. в
Выражаясь не вполне строго, можно сказать, что предел суммы двух функций равен сумме их пределов.
60 Доказательство.
Xq
В общем случае
В качестве радиуса искомой
окрестности возьмем S = mm(rfi(?/2)f<b(?/2)), где
$і(є/2) — это радиус проколотой -окрестности ТОЧКИ Хо, в которой I /(х) — /і I < ?/2, a S2 — это радиус проколотой -окрестности точки Xq, где jд(х) — 12\ < є/2.
Тогда проколотая ^-окрестность
ТОЧКИ Xq
содержится и в -окрестности, И В «^-окрестности ТОЧКИ Xo-Поэтому имеем Ух ; 0 < |х — хо| < S |(/(х)+ *(*))-(fi+Ы1< <\f(x)-h\ + \g(x)-l2\<s, что и требовалось доказать.
В качестве окончания 6(e)
возьмем одно какое-либо
окончание 63 такое, что Ьз Cbl (є/2) ПЫе/2),
где Ь\(е/2) — окончание, на котором
|/(х) -Z1) < є/2, а Ь2(є/2) — это окончание, на котором j^(x) — Z2I < є/2.
Тогда Vx Є Ьз имеем \(f(x)+g(x))-(h+l2)\< <\f(x)-h\+\g(x)-l2\<e. что и требовалось доказать.
Утверждение 4. Пусть /(х) = д{х) при всех х € Ь, где b —
некоторое окончание базы В и Iim f(x) = I. Тогда Iim g (х) = Z.
в в
Доказательство. Имеем g(x) -- f(x) + (</(х) — f{x)).
Так как при всех х Є b имеем g(x) — f(x) = 0, то по утверждению 1 а)
получим lim(^(x) — /(х)) = 0. Отсюда в
lim^(x) = uim/(x) + lim[д(х) - f(x)) = Z + 0 = Ii
BBB
что и требовалось доказать.
Определение 5. Если Iim а(х) = 0, то функция t*(x) называется
в „
бесконечно малой функцией по базе В.
Замечание. Из утверждений 1 а) и 3 следует, что условие существования предела Iim/(х) = Z эквивалентно условию, что функция
в
а(х) = f(x) - I 4
есть бесконечно малая по базе В.
Утверждение 5. Пусть функция а(х) является бескрнечно малой по базе В, f(x) финально ограничена по той же базе,
\?{x)\ < Их)/(х)|.
Тогда функция ?(x) будет бесконечно метой по базе В.
61 Д о казательс те о.
Х—^-Хо В общем случае
Для любого є>0 надо указать число S->0 такое, что Vx: 0<|x-x0|<<f => \?{x)\<e В силу финальной ограниченности функции /(х) существует <Уі>0 такое, что Vx:0<|x-x0!<<fi |/(*)|<С. Найдется 62 =62(є/С)>0 такое, что Vx: 0<Jar-хо|<«Ь имеем |ог(яг)|<?1. Положим <5=min(<?i, ^2(є)}• Тогда Vx: 0<|х—хо|<<5 имеем \?(x)\<\a(x)\.\f(x)\<e/aC=e, что и требовалось доказать. Для любого ?>0 надо указать окончание 6=6(є) базы В такое, что при всех x?b => \?{x)\<e. В силу финальной ограниченности функции /(ж) окончание bi такое, что при всех хЄЬі |/(аг)|<С. Найдется 62=62(^1)6^ такое, что при всех x€b2 \oc(x)\<ejC. Возьмем окончание 63 из условия 63С61П62(єі). Тогда при всех х€б(е) имеем Щх)\<\а(х)\Щх)\<€/С'С=€, что и требовалось доказать.
