Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
50 Теорема 7(теорема Миллера). Существует такое вещественное число a > 1, что если
а ~ <*о> 2ао = аь...,2а" = ап+ь...,
то [ап] — простое число при всех n > 1. Другими словами, существует вещественное число a > 1 такое, что при всех n > 1 натуральные числа
Pn =
л2 L
1
являются простыми числами при всех п > 1.
Доказательство теоремы 7 опирается на знаменитую теорему П. Л. Чебышёва, известную так же как "постулат Бертрана" (см., например, [18]): для любого х > 1 существует простое число р такое, что X < р < 2х.
Построим последовательность pn = [ог„] по индукции. Положим Pi = 3. По теореме П. Л. Чебышёва существует простое число рп+ъ удовлетворяющее условиям
2Рп < Рп+1 <Рп+1 + 1 <2^+1.
Если Pn+1 + 1 = 2Pn + 1, ТО Рп + 1 = 2Рп + 1 — 1 не может быть простым, так как оно имеет делитель 22"(рп+1) — 1. Следовательно,
2Pn < Pn+i < Pn+i + 1 < 2Pn+1.
Положим
Un - j°g2 .^-Iog2jPnittn = Iog2 • logs (pn + !)¦
п п
Очевидно, из неравенств
Pn < Iog2 рп + 1 < Iog2 (рп + 1 + 1) < Pn + 1
имеем Un < Wn+і < Vn+і < vn, так что un, Vn — монотонные последовательности. Следовательно, по теореме Вейерштрасса существует предел Iim un = а и un < а < vn.
п—юс
a = Iog2 ... Iog2 ап,
То в силу МОНОТОННОСТИ функции у = Iog2 X получим Pn < ап < Pn + 1, т.е. рп = [ап]. Доказательство теоремы 7 закончено.
51 Лекция 8
§ 6. ТЕОРЕМА БОЛЫДАНО-ВЕЙЕРШТРАССА О СУЩЕСТВОВАНИИ ЧАСТИЧНОГО ПРЕДЕЛА У ОГРАНИЧЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение 1. Пусть {ап} ;— некоторая последовательность и пусть — некоторая строго возрастающая последовательность,
состоящая из натуральных чисел. Тогда последовательность bn = akn называется подпоследовательностью последовательности an.
Определение 2. Если существует Iim bn = І, то I называется
п—fco
частичным пределом или предельной точкой последовательности
M-
Теоремаї (теорема Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности {ап} можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Д о к а з a m е л ь с m в о. По условию имеем, что найдется с > О такое, что |on| ^ с для всех п. Разделим отрезок Iq — [—с, с] пополам. Один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов последовательности. Назовем его Z1 ив качестве первого члена в искомой подпоследовательности возьмем какой-либо элемент аП1 Є Iu т е- положим bi = аПі. Затем отрезок 1\ снова разобьем на два и обозначим через /2 ту его половину, которая содержит бесконечно много членов последовательности {ап}. Среди них выберем такой член а„2, номер которого П2 превосходит число Пі, и положим 62 = яПз • Повторяя описанную процедуру применительно к отрезку /2, получим отрезок /3 с І2 И член Ьз = аПз с условием пз > Н2. Далее таким же образом найдем 64 = а„< Є /4 С /з, h = An8 € /5 С /4 и т.д. В результате мы получим числовую последовательность {6?} и последовательность вложенных отрезков {/*}, причем bk Є Ik, bit = ank, rik < п^+і при всех k ? N. Другими словами, {bk} будет подпоследовательностью для {а^}.
Осталось показать, что сходится. Для этого заметим, что
длина Sk отрезка Ik равна с ¦ 2~k+1, откуда Sk 0 при k со. Это значит, что последовательность вложенных отрезков {/jt} стягивается и все отрезки Ik имеют единственную общую точку I. Именно это ЧИСЛО I И будет пределом ДЛЯ {Ьк}• Действительно, если Ift = [sk,tk], то Sk < I <tk, tk - Sk = Sk, Oik = I - Sk < Sk, ?k = tk - I < Sk. Ho так как Sk 0 при к оо, то ак 0 и ?k 0, откуда sk = I + ак ^ I, tk =1 + ?k I- И так как Ьк = аПк, Sk < аПк <tk, то bk = аПк I при к —>¦ оо, что и требовалось доказать.
52 § 7. КРИТЕРИЙ КОШИ ДЛЯ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Очевидно, что из теоремы 1 §6 прямо вытекает следующее необходимое и достаточное условие сходимости последовательности.
Определение 1. Последовательность {ап} называется фундаментальной или последовательностью Коши, если выполнено условие:
V є > 0 3 no = по (є), такое, что V m,n > п о имеем \am — ап| < є.
Теоремаї (критерий Коши). Для того чтобы последовательность {an} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство. Необходимость. Если Iimn^00 a„ = I, то для любого є > 0 существует no = По(^), такое, что для всякого п > п0 имеем |an — /| < є/2.
Следовательно, для любых ш, п > но
є є
|a« - am І = |(a„ -1) - (am - I)j < \an - + |am - /| < - + - = є.
Поэтому {an} — фундаментальная последовательность.
Достаточность. По условию последовательность {а«} является фундаментальной.
1. Докажем, что {an} ограничена. В самом деле, возьмем є = 1. Тогда найдется n0 = п0(1) такое, что для всех п > п0 имеем |вп - Cin0I < 1- Но тогда
W < lan - anoI + (a„o| < 1 + \ano\ = h.
Отсюда
|a„| < max(|ai|,..., |ano|,h) = с.
2. В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность attl,..., аПк , • • а при к —> оо.
Условие ее сходимости можно записать так:
Ve > О В fei = (є) такое, что V к > к\ имеем |a„fc — aj < е/2.
Пусть N\ = Tikl и N = шах ^no ^?/2^, iVi^ . Тогда для всех n > N и П(с > N имеем
