Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
|a„ - а| = |а„ - аПк -H аПк - а) < |а„ - a„fc | -H \аПк - а| < ~ -H ~ = в,
т.е. последовательность {an} сходится. Теорема 1 доказана полностью.
Важно отметить, что теорема 1 допускает следующую переформулировку, полезную для доказательства расходимости конкретных последовательностей.
53 Теорема 2. Для расходимости последовательности {ап} необходимо и достаточно, чтобы она не была фундаментальной, т.е. существовало число є > 0 такое, что для каждого по Є N нашлись бы номера m > по и п > щ, для которых выполнялось бы неравенство
(«т — Ctnl >
Примеры. 1. an = 1 + 5 + ¦ Возьмем є = 1/2. Тогда при
любом т имеем неравенство
1 Iml
X2m — Xm =-"Г + ' ' ' + O— > o— = T-
m + 1 2т 2т 2
Последовательность {ап} расходится (здесь мы полагаем m = по, n = 2т).
2. Для решения уравнения Кеплера
х — Qrsinar = y (0 < а < 1) используют метод последовательных приближений:
Xo = У, Xi = у + а Sinar0) ^n = у + asinxn_i. Докажем, что существует ? = Iim хп и что х = ? является един-
п —> OO
ственным корнем уравнения Кеплера.
Согласно критерию Коши для любого є > О существует число no = п0(е) такое, что при всех п > по и при всех р > 1 имеем |xn+p —xn I < є. Оценим модуль разности |xn+p —xn|. В силу неравенства sin уI < имеем
|xn+p ~ агп| = a| smxn+p_i - sinrn_i| < a|xn+p_i - жп_іі <
< а2\хп+р-2 ~ хп-2І < ап\Xp - Xol = t*n+11 sinxP_i | < ап+1.
Далее поскольку |a| < 1, последовательность {an+1} является бесконечно малой последовательностью. Поэтому для любого є > О существует пі = Пі (г) такое, что при всех п > Пі имеем |an+1| < є.
Теперь в теореме 1 положим по = пі- В результате получим, что последовательность является фундаментальной и, следовательно, сходится к некоторому числу Поэтому, переходя к пределу при п —> оо в равенстве хп = у -1- asinxn_i, получим ? = у + a sin т.е. х = ? есть решение уравнения Кеплера. Далее, если ?i — другое его решение, то тогда |?i - = a|sin?i — sin?| < C^f1 — f|, и если ?і ф то отсюда имеем 1 < а, что не так по условию. Другими словами, х = ? — единственный корень уравнения, что и требовалось доказать.
Уравнение Кеплера ввел в рассмотрение И. Кеплер (1571-1630) при изучении движения планет по эллиптической орбите (задача двух тел). Глава III ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Лекция 9
§ 1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ
Мы познакомились с понятием предела числовой последовательности. Последовательность — это функция, определенная на множестве натуральных чисел. Но еще большую роль в анализе играет понятие предела функции, определенной на всей числовой оси или на каком-либо ее промежутке либо луче. В дальнейшем мы будем рассматривать целый ряд понятий подобного рода. Эти понятия по своему духу близки как между собой, так и с уже рассмотренным нами понятием предела последовательности. Перечислим наиболее важные из них:
1) / = lim /(ж) :— предел функции /(ж) в точке Жо;
X—ЪХо
2)1 = Iim /(ж) — правый предел функции f(x) в тцчке жо;
аг-кго+
3) I= lim f{x) — левый предел функции f(x) в точке жо;
T-—>Tq —
4) / =: Iim /(ж) — предел функции fix) при ж —> оо;
X—t-OQ
5) I = lim /(ж) — предел функции /(ж) при ж —> ±оо;
X—^ioo
Будем считать, что функция /(ж), о пределе которой будем говорить, определена на всей числовой прямой IR или на некотором множестве А, являющемся его подмножеством, Т.е. А С К. Этим множеством А, например, может быть интервал, отрезок, совокупность промежутков и вообще какое угодно бесконечное множество. Важно только, чтобы точка жо, к которой устремляется аргумент функции /(ж) (т.е. ж —> жо), являлась предельной точкой множества А, а именно: чтобы в любой ^-окрестности точки жо содержалось бесконечно много точек из множества А, В случае х —у оо или ж —> ±ос это означает, что множество А должно быть: не ограничено, если ж —у оо; не ограничено сверху, если х —> Ч-оо; не ограничено снизу, если ж —f —оо.
В дальнейшем нам понадобится следующее определение.
Определение. Множество точек ж, принадлежащих А и удовлетворяющих неравенству О < |ж — жо| < 6, называется проколотой 6-окрестностью точки Жо (относительно множества А).
При А = M проколотая ^-окрестность точки жо состоит из двух интервалов: (жо — S,хо) U (жо, жо 4- 6).
55 Определения предела .
Обозначения По Коши По Гейне
I = lim /(х) x—txa или f(x) -+1 при X —+ Xo Число I называется при X - Ve > О 3 S = 6(e) > О такое, что Vx: (ж Є А, О < |х - ж0| < <*) =Ч/(х)-/|<е пределом функции /(ж) -+ жо, если V последовательности {ж„}: хп ф жо Vn Є N хп Є А и хп -+ ж0 при п -+ оо имеем f(xn) —У I
I = Um J(X) X-H0 + или /(ж)-M при X -+ Xq+ Число I называется праЕ при X Ve >03 S = 6(є) > О такое, что Vx: (ж ? А, О < X — хо < <?) => і/W -'Ke >ым пределом функции /(ж) -+ жо, если V последовательности {жп}: хп > X0 Vn Є N хп Є Au хп -у ж0 -при п —У оо имеем /(хп) —> I
I= Iim f(x) или f(x) -+ I при X -+ Xq- Число I называется леві при X Ve >03 S = S(e) > О такое, что Vx: (х € A, -S < X - X0 < 0) => I/(ж) -1\<е ьім пределом функции /(ж) -+ жо, если V последовательности {ж„}: хп < жо Vn G N хп Є А и Xn -У X0 при'п —> оо имеем /(Xn) —> I
