Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Пусть {ж*} — бесконечно малая последовательность, а последовательность {у*} ограничена. Тогда при некотором с > 0 имеем JyrtI < с для всех п Є N. Далее, так
35 как {xfc} — бесконечно малая последовательность, то для всякого ? > 0 найдется номер Hi(^i) с условием, что \хп j < Єї = є/с для всех
n> Ui(^i). Поэтому, полагая по(є) = пі (є/с), будем иметь
?
Vn > по (є) => \хп • уп\ < |агп| • с < - • с = є.
с
Другими словами, {хпуп} есть бесконечно малая последовательность. Теорема 4 доказана.
Следствие!.. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Согласно теореме 1 одну из двух бесконечно малая последовательность мы можем рассматривать как ограниченную последовательность. Тогда их произведение будет бесконечно малой последовательностью в силу предыдущей теоремы. Следствие доказано.
Следствие2. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность .
Доказательство получается очевидным последовательным применением предыдущего утверждения. Следствие доказано.
Теорема5. Если {яп} — постоянная и бесконечно малая последовательность, то Xn = 0.
Действительно, если xn = с ф 0, то в jcj/2-окрестности нуля нет ни одной точки нашей последовательности, и это значит, что не
является бесконечно малой последовательностью. Теорема 5 доказана.
Примеры. 1. {gn} — бесконечно малая последовательность при 1*1 <1-
Действительно, если 0<<7<1, то q = --, где h > 0. В силу
1 + h
неравенства Бернулли
(1 + h)n > 1 + nh при п > 2.
Отсюда имеем
п 1 1
q < - < —.
1 4- nh nh
Зададим теперь є > 0. Нам надо выбрать по = «о(є) таК, чтобы для каждого п > по выполнялось неравенство qn < е. Для этого достаточно, чтобы было справедливо такое неравенство:
1 , 1 1
—Г <е nh> - п > —. nh є he
36 Положим
Ti0 = Л0(є) =
he
+ 1.
Покажем, что для всех п > по имеем qn < є. Это следует из цепочки неравенств
1 . 1 1
= гг,
rih + 1 noh 1 /he • h
следовательно, {?"} есть бесконечно малая последовательность. 2. Tiqn — бесконечно малая последовательность при |</| < 1.
Рассмотрим случай 0 < q < 1. Тогда q = ——где h > 0. Из
формулы бинома Ньютона имеем
1 +/і
(1 + A)n > n(" l)h2 при ті >2.
Отсюда получим
= (TTAF < (^ГЩї < f. n~1>i' ">ш + 1-
Положим
По =
2
eh2
+ 2.
Тогда для всех п > по будем иметь nqn < е. Лек ідея 6
§ 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение 1. Последовательность {ап} называется сходящейся, если существует число І Є Ж такое, что последовательность Qn = ап — / является бесконечно малой последовательностью.
В этом случае говорят, что {ап} сходится или что {ап} имеет предел и этот предел равен I. Записывают это так:
Iim an = I или ап —f / при п —* оо.
л —юо
Это определение на uE-языке" можно записать следующим образом:
Ve > 0 3 по = ио(е), такое, что Vn > п0 имеем |ап — 1\ < є.
Будем говорить также, что последовательность {а„} расходится к "плюс бесконечности", если для любого с > 0 лишь для конечного числа членов ее выполняется неравенство
Ctn < С-
Обозначается это так:
Iim an = +оо или а„ —У +оо при п —У оо.
п—юо
Последовательность {ап} расходится к "минус бесконечности", если для любого 6 < О лишь для конечного числа членов её выполняется неравенство
Ctn > Ь.
Обозначается это так:
lim an ~ —оо или an —» —оо при п —» оо.
Tl—юо
И, наконец, последовательность {ап} расходится к "бесконечности", если для любого с > О лишь для конечного числа членов ее выполняется неравенство
Kl < С.
Обозначается это так:
Iim а„ = оо или а„ —> оо при п —у оо.
п—юо
38 Утверждение 1. Если {а„} сходится, то она, имеет единственный предел.
Доказательство. Пусть это не так. Тогда существуют числа Ji ф 12 такие, что последовательности an = an — Ii и ?n = ап — /2 обе являются бесконечно малыми последовательностями. Отсюда ап+11 = ^n = ?n +h, поэтому Z1 —/2 = ?n — ап есть бесконечно малая последовательность. Но тогда по теореме 5 § 2 имеем /1-/2=0, т.е.
h = Ь;
Утверждение 2. Если {а„} — бесконечно малая последовательность, то Iim an = 0.
ГЇ —юо
Доказательство. Действительно, при / = 0 имеем ап — 0 = ап есть бесконечно малая последовательность, т.е. предел {ап} при п —> оо равен 0.
Утверждение 3. Если {ап} сходится, то она ограничена.
Доказательство. Если {ап} сходится, то найдется число / такое, что an = ап—1 — бесконечно малая последовательность. Значит, существует с > 0 такое, что при всех натуральных п имеем Kl < с. Но an = / + Qfn, откуда
Kl = \l + otn I < |/|+ Kl < |/| + с= C1,
т.е. {а„} — ограниченная последовательность, что и требовалось доказать.
Утверждение 4. Если lim an = I и an ф 0, / ф 0, то существует
П—УОО
TiQ 6 N, такое, что при всех n > по имеем |а„| > |/|/2 (или, что то же самое, 1/KI < 2/I'll
Это означает, что последовательность {1/ап}, составленная из обратных величин, ограничена.
