Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 9

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 201 >> Следующая


Для каждого из чисел a € Aq рассмотрим его целую часть [a] = по(а).

Так как 0 < [a] < а < 6, то функция [а] при а Є Ao принимает лишь конечное число значений. Наибольшее из этих значений обозначим через JPo- Рассмотрим множество А\ С Aq, состоящее только из тех чисел a Є Ao, для которых [а] = Xq. Заметим попутно, что для всех а $ Ai имеем неравенство а < X0.

На множестве Ai определим функцию ni(a), равную числовому значению первого десятичного знака после запятой у числа а. Всего она принимает не более 10 значений. Наибольшее из них обозначим через Xi. Образуем множество А2, состоящее из чисел, принадлежащих Ai, у которых Ui(a) = хі. Обозначим через $i(a) число, получаемое из а заменой всех, начиная со второго, десятичных знаков числа а нулями, т.е. если a = no,ni... , то si(a) = по, «ь Тогда для любого а Є А2 имеем sj (a) = xq,X\, ho при всех a ^ A2 выполнено неравенство a < Xo5 ^i- Для всех а Є Ai определим функцию П2(а), равную значению ее 2-го десятичного знака. Наибольшее егс> значение выразим через Х2- Образуем множество A3 С Аг такое, что Va Є A3

24 ri2(a) = X2. Тогда для «2(0), т.е. для числа, полученного заменой всех, начиная с третьего, десятичных знаков числа а нулями, справедливы соотношения «2(0) = ^0)^1^2 Va Є A3; а < XoyXiX2 Va ? A3. Продолжая этот процесс далее, на к-м шаге, будем иметь

Sfc(O) = XotXii2...^ VaGAfc+i; a < X0,XiX2 ..-Xfc VagAk+1.

Таким образом, мы получили последовательность знаков, которые определяют число имеющее десятичную запись вида b' = хо, Х1Х2 ....

Докажем, теперь что Ь' является точной верхней гранью множества А, т.е. что bf = sup А. Для этого надо проверить следующие условия:

1) Ь' — верхняя грань, т.е. для всех а Є А имеем a < 6';

2) b' — наименьшая из всех верхних граней, т.е. если b < bf, то существует а Є А такое, что a >6.

Докажем условие 1). Допустим противное. Это значит, что существует a € Л, такое, что a > b'. Тогда из правила сравнения чисел имеем, что существует номер к такой, что

Sfc(a) > X0jXi .. .хк = sk(b').

А это противоречит построению числа

Теперь докажем условие 2). Если b < Ь', то по правилу сравнения вещественных чисел существует номер к Є N такой, что

bo, bi .. .bk = sk(b) < sk(b') = x0, xi... xk.

Ho по построению найдется элемент a Є Ak+i такой, что sjt(a) = (?>').

Отсюда имеем sk(b) < sk(a), b < a. Тем самым свойство 17° доказано полностью.

Заметим, что число 6'= sup Л может принадлежать А, а может и не принадлежать.

В качестве примера рассмотрим множество А рациональных чисел а с условием a < 0 или а2 < 2 и множество В = Q \ А, составленное из положительных рациональных чисел b с условием Ь2 > 2.

В силу того, что не существует рационального числа, квадрат которого равен двум, имеем: 1) AU Я = Q; 2)А П В = 0; 3) А ф 0, В ф 0; 4) для любых чисел а Є А и любых чисел b Є В справедливо неравенство а < 6.

Определение 2. Любое разбиение рациональных чисел на два множества со свойствами 1)-4) называется сечением (дедекиндовым сечением).

25 Ясно, что множество В "ограничивает сверху" множество А, т.е. при любом фиксированном b ? В выполняется условие 4), и множество В исчерпывает все множество верхних граней множества А.

Покажем, что множество В не имеет наименьшего элемента, а множество А, являющееся множеством всех нижних граней для множества В, не имеет наибольшего элемента. Это означает, что множество Q рациональных чисел не является "полным" ,т.е. для него не выполнено свойство 17°.

Действительно, предположим противное, т.е. существует минимальное число bo в множестве В. Рассмотрим число Ь0 — к, к GQ такое, б2 —2

что 0 < к < -?^-. Тогда имеем

(*о - к)2 = b20 + *(* - 260) > Ь2 - к ¦ 260 > bl - • 260 = 2.

Следовательно, Ь0 — к Є В, что противоречит минимальности числа Ь0. Допустим теперь, что ао — максимальное число множества А.

2-а3

Рассмотрим неотрицательное число h < 1 с условием h < 2до-Д • Тогда имеем

(а0 + h)2 - а2 + Л(2а0 + h) < а20 + Л(2а0 + 1) < + (2 - а20) = 2.

Таким образом, число ао -f h Є А, что противоречит предположению о максимальности числа ао в множестве А.

Понятие сечений в множестве рациональных чисел было введено Ю. В. Р. Дедекиндом (1831 - 1916) для построения теории вещественных чисел. Хотя в нашем курсе эта же задача решается с помощью бесконечных десятичных дробей, следует отметить, что дедекиндовы сечения оказываются полезными и в других ,вопросах. В частности, на них фактически опирается строгое определение степенной и показательной функций при произвольных значениях показателя степени и аргумента.

Определение 3. Функции sjt(a) будем называть округлением

числа а до k-го знака после запятой.

Свойство точной верхней грани. Если b = sup Af то

Ve > 0 3 a G А такое, что a > b — є.

Доказательство проведем от противного. Предположим, что найдется є > 0 такое, что для всех а Є А выполняется неравенство b — а > є. Но тогда b' = b — є является верхней гранью множества А, которая меньше, чем 6, а это невозможно, поскольку b есть наименьшая из верхних граней, что и требовалось доказать.
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed