Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 12

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 201 >> Следующая


р{п)

32 § 2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

И ИХ СВОЙСТВА

Определение 1. Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

Обозначения: хі,х2,хз..., или> коротко, {хп}, или, если это не вносит путаницы, просто хп.

Примеры. 1. Последовательность Sn длин вложенных отрезков (см. определение 2 §5) {Д«}, Дп Cl, Дп+і С An V п Є N.

2. xn = с при всех натуральных п (постоянная последовательность). * *

Определение 2. Если {хп} и {уп } — две числовые последовательности, то {xn-f у,,} называется суммой двух числовых последовательностей, {хп — уп} — разностью двух числовых последовательностей, {Xn Уп} — произведением двух числовых последовательностей, при Уп Ф 0 последовательность {хп/уп} называется частным двух числовых последовательностей.

Замечание. Обычно мы подразумеваем, что запись а/6 сама по себе предполагает выполнение условия 6^0.

Последовательности бывают:

1) ограниченными сверху, если найдется а такое, что для всех членов последовательности ,выполняется хп < а;

2) ограниченными снизу, если существует 6 такое, что Xn > 6 при всех п Є N;

3) ограниченными, если существует с такое, что для каждого номера neN имеем |хп| < с.

Определение 3. Последовательность {хп} называется бесконечно большой, если для любого с > 0 множество тех членов последовательности, которые удовлетворяют неравенству |хп| < с, конечно.

Другими словами, это значит, что для всякого с > 0 существует номер no = по (с), такой, что все члены последовательности {хп} с номерами, большими чем п0, удовлетворяют неравенству |хп| > с.

Коротко это определение записывается так:

V с > 0 3 no = по(с)такое, что V п > по имеем |хп| > с.

Пример. Последовательности {уп = «}, {zn = —п) — бесконечно большие последовательности.

2 Лекции по математическому анализу

33 Определение 4. Последовательность {жп} называется бесконечно малой, если для всякого е > 0 множество членов последовательности {хп}, удовлетворяющих неравенству

конечно.

Коротко это определение записывается так:

V є > О 3 no = no (г) такое, что V n > n0 => kJ < є.

Примеры. 1. Длины отрезков из последовательности стягивающихся отрезков (см. определение 3 §5) образуют бесконечно малую последовательность.

2. хп.= \/п — бесконечно малая последовательность.

Чтобы это доказать, надо для всякого є > 0 найти хотя бы одно натуральное число no = no(f) такое, что

В качестве такого по = щ(є) возьмем число [l/ej-Ь 1. Тогда для каждого п с условием

имеем < б, что и требуется.

И вообще, если надо доказать, что {жп} — бесконечно малая последовательность, то, по существу, надо найти хотя бы одно n0(s) с нужными свойствами, т.е. такое, что если п > по(е), то выполняется неравенство |хп| < е, или хотя бы каким-либо образом доказать его существование,

Теоремаї. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть \хп] — бесконечно малая последовательность. Тогда, например, неравенству |хп| > 1 удовлетворяет лишь конечное множество ее членов. Сумму модулей таких членов обозначим через Cq. При этом считаем, что со — 0, если таких членов вообще нет. Очевидно, тогда для каждого члена хп имеем неравенство

Следовательно, бесконечно малая последовательность {хп} ограничена. Теорема 1 доказана.

|х„| > ?

V П > По имеем |хп| < е.

I < с = C0 + 1.

34 Теорема 2. Если {хп} — бесконечно большая последовательность и хп ф 0, то {1 /хп) — бесконечно малая последовательность, и наоборот, если {zn} — бесконечно малая последовательность и хп ф 0, то {1/х„} — бесконечно большая последовательность.

Доказательство. Ограничимся рассмотрением только прямого утверждения. В этом случае при любом ? > 0 неравенство \\(хк\ > ? равносильно неравенству |хп[ < с = \/є, которому, в свою очередь, удовлетворяет лишь конечное множество членов, поскольку {хп} — бесконечно большая последовательность. Это значит, что {1 /хп) — бесконечно малая последовательность. Теорема 2 доказана.

ТеоремаЗ. 1. Если {хп} — бесконечно малая последовательность, то {|zn|} — бесконечно малая последовательность, и наоборот.

2. Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Первое утверждение теоремы непосредственно следует из определения бесконечно малая последовательность. Докажем второе утверждение.

Пусть {хп} и {уп} — бесконечно малая последовательность. Тогда

для любого є > 0 существуют номера пі (є/2) и п2(є/2) такие, что Vn>ni(f) И Vn>n2(f) ^

Тогда, полагая по = max(ni (є/2), П2(є/2)), имеем

Є ?

Vn > tz0 => \х„ ± уп\ < \хп\+ |ynI < - -i- - = ?.

Следовательно, {xn ± у„} — бесконечно малая последовательность. Теорема доказана.

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство очевидно.

Теорема 4. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed