Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
I = lim f(x) X-* OQ или /(*)->* при X -? OO Число I называется при ж -Ve > О 3 с = с(е) > 0 такое, что Vx: (ж Є А, |ж| > с) => I/0) -Ц<е пределом функции /(ж) •+ оо, если V бесконечно большой последовательности { жп }: хп ? A1 при п -+ оо имеем /(Xn) -+ I
I= lim /(х) x-+ + oo v ' или при X —>¦ +OO Число / называется при ж H ' Ve > О 3 с = с(е) > О такое, что Vx: (ж Є А, X > с) => I/W - Ч< с пределом функции /(ж) > +оо, если V бесконечно большой? последовательности жп > 0: Xn € А, при п —у оо имеем /(х„) —> I
lim f(x) Х-? — 00 или /(х) -+ I при X —У -OO Число I называется при X H Ve > О 3 с= с(е) < О такое, что Vx: (ж Є A1 X < с) іределом функции /(ж) > —оо, если V бесконечно большой последовательности х„ < 0: х„ Є А, при п -+ оо имеем /(xn) -+ I
т
56 Для всех этих видов пределов справедливы теоремы, аналогичные теоремам о пределах последовательности. Например, если /і (я) —Иі, /2(х) /2 (при одном и том же виде стремления аргумента я), то:
1) /і(я)±/2(*)-^1(±Ь,
2) /i(*)/2(*)-Wi/2,'
3) Ш h при *
Если с(х) — постоянная, т.е. с(г) = I для любого х Є А, то с(х) —> Г
Доказательства этих теорем, по существу, повторяют доказательство утверждений для сходящихся последовательностей. Но тем не менее их надо провести, а это заняло бы у нас очень много времени. Для того чтобы этого избежать, мы дадим общее определение предела, под которое будут подходить все рассмотренные, нами пределы, в том числе и предел последовательности. Речь идет о так называемом пределе по базе множеств..
§ 2. БАЗА МНОЖЕСТВ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ
Определение 1. Пусть А есть область определения функции f{x). Тогда совокупность множеств {6} = В, где Ь С A1 называется базой множеств или просто базой для множества А, если для ее элементов выполняются следующие условия:
1) В состоит из бесконечного числа непустых множеств {&},*
2) V Ьь Ь2 Є В 3 63 Є В такое, что 63 С Ьг П Ъ2.
(Здесь надо помнить, что bj, 62» суть подмножества множества А.)
Элементы множества В называются окончаниями базы В. Само множество А будем называть основным множеством базы В. Далее для любых двух окончаний 61 и 62 базы В с -условием 62 С Ь\ будем говорить, что 62 следует за &1, a &i предшествует 62.
Определение 2. Число I называется пределом функции f(x) по базе B1 если для любого є > О существует окончание b Є В такое, что при всех х Є b имеем неравенство |/(а?) —1\<є.
Обозначение:
lim/(x) = / или f(x) —V I (по базе В), в
В этом случае еще говорят, что f(x) сходится к I по базе В. Аналогично определяются следующие пределы:
lim/(x) = 00 (±00). в
Следует заметить, что с точки зрения формальной корректности определения 2 предела функции по базе В, вообще говоря, требование бесконечности множества окончаний в базе В является избыточным.
57 В случае конечного количества окончаний данное определение малосодержательно и не отражает в достаточной степени существа понятия предела.
Важно отметить, что если вместо основного множества А базы В взять любое ее окончание bo, то совокупность В' окончаний базы В, следующих за, bo, с учётом сделанного выше замечания, тоже образует базу множеств. При этом из существования предела Inn/(ж) = I
следует, что существует предел 1ші/(х) =/ и наоборот. В силу этого
свойства на практике между базами В и В' фактически не делается никакого различия.
Примеры баз.
1. А = N. База Во (обозначение: п —у оо) состоит из множеств f> — Ns, s > 1, где Ns — множество натуральных чисел {s,s+l,s + 2,...}. Тогда предел по базе Во — это предел последовательности {ап}:
ж = п, f(x) — а„ и Iim f(x) = lim а„.
Во п—юо
2. А = М. База В\ состоит из всех проколотых ^-окрестностей
точки хо, S > О (обозначение: х —У хо). Тогда lim /(ж) — это предел
в і
при X —У Xo, т.е.
lim /(х) = lim f{x).
В і i-tto
3. А = HL База B2 [х —У хо+) состоит из всех интервалов вида (х0,х0 + <*), где S > О,
hB?/(l> = Js+
4. А ~ R. База Вз (х —> X0—) состоит из всех интервалов вида
(хо -S, х0), где S > О,
Iim/(х) = Iim /(х).
В s
5. А = Ж. База В± (х —У оо) состоит из всех множеств {6}, где 6 есть объединение двух лучей: (-оо, -с) U (с, +оо), с > О,
Iim f(x) = Iim /(ж).
6. A = M. База В$ (х —> +оо) состоит из всех лучей вида (с,+оо), где с > О,
limf(x) = lim /(ж). B8 *->+«> v '
7. A = R. База Be (х —У — оо) состоит из всех лучей вида (—со,с), где с < О,
\imf(x) = Iim /(х).
±> в Х—? — OO
58 Легко убедиться в том, что все эти совокупности множеств Bi, B2, ¦ • •) В7 действительно удовлетворяют определению базы. Проверка всех этих множеств на соответствие определению базы однотипна. Поэтому мы ограничимся рассмотрением только множества
B2-
1) B2 СОСТОИТ ИЗ окончаний 6=6^ вида (хо — S, Хо) U (Хо, Xo -f<?) ф 0, где S — произвольное положительное число. Следовательно, B2 является бесконечным множеством, и каждое его окончание не
пусто.
2) При всех Ji < S2 имеем bsl Hbs3 = bjlt т.е. и второе условие базы выполнено.
Таким образом, множество B2 является базой множеств.
