Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Утверждение 6. Пусть limf(x) = Ii, lim^(x) = I2. Тогда
В В
Mm f{x)g{x) = Iil2-в
Доказательство. Имеем f{x) = l\ +a(r), ^(х) = l2 + ?{x), где а(х), ?{x) — бесконечно малые функции по базе В. Тогда получим
f{x)g{x) - hh = a{x)l2 + ?{x)h + a{x)?{x) — б.м.,
что и требовалось доказать.
Утверждение 7. Пусть lim/(x) = li, lim<j(x) = I2, I2 ф 0. Тогда
в в
IimM 4.
в g(x) I2
Доказательство. Имеем
/(g) h _ h + а(х) h = a{x)l2 - ?{x)h 1
д(х) I2 h + ?(x) I2 I2 ' д(х) У[Х)'
Здесь — бесконечно малая функция по базе В,
h
1 /д(х) — финально ограниченная функция по той же базе, поэтому 7(ж) есть бесконечно малая функция по базе В, что и требовалось доказать. Лекция 10
§ 3. СВОЙСТВО МОНОТОННОСТИ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
Утверждение X. Пусть с Є Ж, Iim/(a?) = I и, кроме того, f(x) > с
в
(или f(x) > с) на некотором окончании b базы В. Тогда I > с.
Доказательство. По условию а(я) = f(x) — I — бесконечно малая функция, причем для всех х ? b
а(х) = f(x) — I > с — L
Допустим, что с — I > 0. Тогда для є = найдется окончание &1 Є В такое, что при всех х Є S1 имеет место неравенство ja(x)| < є. Заметим, что найдутся окончание Ьг С Ь П Ь\ и точка і G для которой выполнены неравенства
є > |а(х)! > а(аг) > с - / = 2е > 0.
Отсюда вытекает, что 0 < Ie < є, что невозможно. Тем самым утверждение 1 доказано.
Утверждение 2. Пусть 1іт# f(x) = Ii, . lim# g(x) = /2, f(x) < g(x) на некотором окончании b базы В. Тогда Ii < I2.
Доказательство. Рассмотрим h(x) = g(x) — f(x). IIo
условию h(x) > 0, lim/i(x) = / I? —ly. Из утверждения 1 имеем I > О,
в
т.е. I2 >h, что и требовалось доказать.
Утверждение 3. Пусть f(x) < g(x) < h(x) на некотором окончании базы В,
Iim f(x) = I, lim/i(ir) = I. в в
Тогда существует Iimg(x) = I.
в
Доказательство. Из условия имеем
О < д{х) - f(z) < h(x) - f(x)-t а{х) = h{x) - f(x) 0 (по базе В),
63 т.е. а(х) — бесконечно малая функция по базе В.
Но так как !^(х) —/(х)| < <*(х), то по утверждению 5 § 2 д(х)~/(х) — бесконечно малая функция по базе В. Тогда
Iimд{х) = Iim(^x) - /(х)) + Iim/(х) = O-H = /, в в в
что и требовалось доказать.
§ 4. КРИТЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА
ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ
Теорема (Критерий Коши). Для существования предела, функции f(x) по базе В необходимо и достаточно, чтобы для любого є > 0 существовало окончание 6 = 6(e) такое, что при всех х,у Є Ь было справедливо неравенство
|/(х)-/(у)|<?.
Доказательство. Необходимость. Пусть Iim^ /(х) = I. Тогда для любого є > 0 существует окончание 6j = 6і(е/2) Є В такое, что при всех х,у Є Ь\ имеем
1/(*)-'1<|. 1/(У)-'1<|.
Отсюда при всех х,уЄЬ\
\№ - /Wl < 1/(*) - 'I +1/М - 'К I + I = е-
Достаточность. Докажем, что f(x) .финально ограничена. Действительно, возьмем с = 1. Тогда существует 6(1) Є В т^кое, что при всех ж, у Є 6(1) имеем |/(х) — /(у)| < 1. Зафиксируем у. Тогда при всех X Є 6(1)
[/(aOI < \f(x) - /МІ + l/MI < 1 + І/МІ-
В силу условия Коши для любого е > 0 существует 6(e) € В такое, что при всех х, у Є 6(e) имеем |/(х) - f{y)\ < е. Но это значит, что є есть
64 верхняя грань значений величины \f{x)~f(y)\ для всех х,у Є 6(e). Используя также финальную ограниченность f(x), получим
т(є) = inf f{x) Є М, М{є) = sup f{x) Є К,
*€б(е) refc(f)
є> sup |/(x)-/(y)i = sup (/(x) - f{y)) .=
= sup /(x) — inf /(y) = M(e) - m(e).
хЄЬ(е) 3i€b[e)
Положим є = Sn = Тогда можно считать, что b(~) С 6(^) при всех і%2 > пі. Действительно, если, например, 6(5) ?. 6(1), то вместо б(|) можно взять 63 из условия 63 С 6(1) П б(^) и т.д. В силу этого
имеем
т
(~L)<m(i-), M(I) > M(I).
Пі П 2 Пі П2
Кроме того, при всех X Є 6(e) справедливо неравенство
т(є) < f(x) < M(є).
Каждому є = єп > 0 соответствует свой отрезок In = M (?¦)].
Вся совокупность отрезков Jn образует последовательность стягивающихся отрезков, так как при єп > єя
т{єп) < т(єя) < M{es) < М(єп),
т.е. I3 C In-
Ilo лемме о системе стягивающихся вложенных отрезков существует точка I такая, что для любого номера п имеем І Є In-Докажем, что
Iim/(*) = /.
Для этого нам надо доказать, что для любого є о > 0 существует (?о) & такое, что при всех х Є 6j(e) справедливо неравенство
|/(*)-/|<со.
В качестве 6i(g0) возьмем 6(^), где п > 2?1. Тогда при всех Х>У € Ьі(єо) по условию Коши выполняется неравенство
п I
¦ !'."iKiiiHi но математическому анализу
65 И при всех X є 6і(Єо) имеем
т
(І) </(.)< м (І)
Кроме того, I € Это значит, что
га
<1<М
Отсюда
\f(x) —l\< M
Теорема доказана полностью.
Определение. Две базы В\ и B2 называются эквивалентными, если любое окончание базы В\ содержится в некотором окончании базы B2, и наоборот.
Заметим, что для эквивалентных баз утверждения о пределах будут выполняться одновременно. Лекция 11
§ 5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ СХОДИМОСТИ ПО
КОШИ И ПО ГЕЙНЕ
Теорема. Сходимости функции f(x) по Коши и по Гейне при х'—ї Xo эквивалентны. Другими словами, существование предела функции по Коши при X х'о влечет за собой существование предела функции по Гейне по той же базе и наоборот, причем в обоих случаях значения пределов совпадают.
