Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
xn+i - у/а _ Ґхп - ^/аЛ xn+i + у/а \хп -I- у/а)
Положим
Xi — у/а . -- - д.
х\ + у/а
При Xi > 0 имеем |gI < 1. Далее получим
хп- у/а
= Я
2п-1
хп + у/а
откуда
хп = у/а
. On- 1
1 + д2
2П-1 »
1-9
46 л ")1-1 г- 2t? г
An = хп - у/а = --^rzrVa.
1 - q2
Заметим, что величина An определяет скорость сходимости данного итерационного процесса.
Далее так как q2 — бесконечно малая последовательность, то Iim хп — у/а-
П-юо
Число е.
ТеоремаЗ. Последовательность
-H)'
имеет предел.
Доказательство. Сначала заметим, что при k > 1
fc! = к(к — 1)...2 - 1 > 2fc_1. По формуле бинома Ньютона получим
-=1+К")+і G)+" •+і С)=2+S 0=^
v—> In п — 1 п — к + 1
" = 2 + ?її;Г
Но тогда
к\ ті n п
к = 2
к —2
Кроме того, в выражении <г при к > 2 с ростом ті возрастает к-й член суммы и число членов всякий раз увеличивается на единицу, т.е. ап не убывает и {ап} ограничена.
По теореме Вейерштрасса последовательность {ап} сходится. Теорема 3 доказана.
Следуя Эйлеру, предел этой последовательности обозначают через е. Известно, что
е = 2,71828 1828459045...
Постоянную е называют неперовым числом или числом Д. Henepa (1550 -1617). Логарифм числа а по основанию е называется натуральним логарифмом числа а и обозначается символом Ina.
47 ( V+1
Рассмотрим далее последовательность 6n = I 1 + ~ J • Имеем
( Л" ( Л
bn = lim bn — Iim IH— • Iim (1-І— — е. п—юо п —> оо у п J п—юо у Tl J
Последовательность {6П} убывает. Действительно, из неравенства Бернулли при п > 1 имеем
Ьп _ і1 + іТ+1 _
-Л _L_V+1 n + l (\ 71 + 2 п +1 -
"V + n2 + 2п/ n + 2>V + п(п + 1) У + 2
(п+ 1)3 + п(п+ 1) п(п + 2)2
Следовательно, Ьп > е. Так как 6n > е > а„, то
( 1\п 1 3 О < rn = е - ап < bn - ап = ( 1 + - ) • - <
\ tlj п п
Величина гп характеризует скорость сходимости последовательности {ап}.
Поскольку число е играет важную роль в анализе, дадим для него другое выражение.
T е о р е м а 4. Пусть
11 1 с" = 1 + ТТ + 2Т + --+ы-
Тогда Iim сп = е.
п—юо
Доказательство. Имеем, что последовательность {сп} является монотонно возрастающей и ограниченной. Действительно,
Следовательно, существует предел Iimn-^00Cn = е\. Далее, так как
Л i\n
«п =11+-1 =f<Cn,
48 то е < ej.
Тогда при фиксированном s < п имеем
к-2 4 7 к=2 4
Отсюда
е = Iim ап > Iim ds(n) = сл,
1 Л Л Л Ar-I
1 -
п
П—>ОО П—ЮО
т.е. е — верхняя грань для {с3}. Но так как
Iim с3 - sup{c5} = є і,
J-fOO
то е > ei- Следовательно, е — ei. Теорема 4 доказана. Заметим еще, что если Є — Cn + Г,;, то
„ V^ 1 1/,1 1 А
"<-¦= I, (ЇЇТТ)!(1 + ЇГГ2 + (^W+ -J =
1 1 п + 2 1
<
(n+1)! 1 - 1/(п + 2) („+!)(„ + !)! п-п!' Теорема5. Число е — иррациональное.
Доказательство. Допустим противное. Тогда е — р/д, (p,q) = 1, и с учетом сделанного выше замечания имеем
1
О < е - св <
q \ г.
qq\
Домножая обе части неравенства на д!, получим, что А = д!(е — ся)
есть целое число и в то же время 0 < А < 1/q, что невозможно. Доказательство закончено.
Дадим определение еще одной известной константы, играющей важную роль в математическом анализе.
Теорема 6. Пусть
, 1 1 ,
Tn - 1 + O +----1---1пп-
2 п
Тогда существует предел т = Iim Tn ¦
П—Юо
Доказательство. Последовательность {7П} монотонно убывает. Действительно,
Tn+1 - In - —j-r - In (n + 1) + In n = ~4т - In ( 1 + -) < О, п+1 п+1 \ n J
49 так как
{ l\n+1 ( l\n+1 1 < In ( H— J , поскольку е < Ii+ — ) =ьп.
что было уже доказано выше.
Далее покажем, что последовательность Ю ограничена снизу числом 0. Из доказательства теоремы 3 имеем
т.е.
Поэтому
1 I1 .2 3 n + 1
7n = l + -H-----1---In п> In - 4- In -H-----Hn--In п =
2 п 12 п
. п + 1 1
= In - > -7 > 0.
п п + 1
Следовательно, по теореме Вейерштрасса последовательность {7П} имеет предел, что и требовалось доказать.
Данный предел называется постоянной JI. Эйлера и обычно обозначается буквой 7 или буквой С. Для этой константы Эйлер вычислил 15 десятичных знаков после запятой, а именно:
7 — 0,5 7721 5664 9015 32...
Отметим, что с арифметической природой постоянной Эйлера связан ряд старых математических проблем. В частности, до сих пор неизвестно, является ли константа 7 алгебраическим или трансцендентным числом. Попытки выразить эту константу через известные величины, например, через 7г, е или логарифмы алгебраических чисел,, пока тоже не имели успеха. Поясним, что число называется алгебраическим, если оно является корнем алгебраического многочлена с целыми коэффициентами. Заметим также, что если у этого многочлена коэффициент при старшей степени неизвестной равен единице, то данное число называется целым алгебраическим числом. Очевидно, что к алгебраическим числам относятся все рациональные числа. Если же число не является алгебраическим, то оно называется трансцендентным.
В качестве еще одного приложения теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности приведем пример последовательности, задаваемой с помощью простой формулы и принимающей только значения простых чисел.
