Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Глава XVII. Абстрактные пространства
геометрии расстояние между параллельными прямыми постоянно. Здесь же мы убедимся, что при движении точки X направо ее расстояние от а (т. е. длина перпендикуляра XY) убывает.
Опустим из точки A1 перпендикуляр A1B1 на прямую а. Из точки B1 опустим перпендикуляр B^A2 на прямую с (точка A2 лежит правее A1, так как угол у острый). Наконец, из точки A2 опустим перпендикуляр A2B2 опять на прямую а. Докажем, что A2B2 меньше A1B1.
Теорема о том, что перпендикуляр короче наклонной, верна и в геометрии Лобачевского, поскольку ее доказательство (которое можно найти в любом школьном учебнике геометрии) не опирается на понятие о параллельных прямых или связанные с ними выводы. А раз перпендикуляр короче наклонной, то B1A2 как перпендикуляр к прямой с короче A1B1 и аналогично A2B2 как перпендикуляр к а короче B1A2. Следовательно, A2B2 короче AxB1.
Далее, опуская на прямую с перпендикуляр B2A3 из точки B2 и повторяя то же рассуждение, можно убедиться, что A3B3 короче A2B2-Продолжая это построение, мы получим последовательность все более и более коротких перпендикуляров, т. е. расстояния точек A1, A2,. . . от прямой а убывают. Дальше, дополняя наше простое рассуждение, можно было бы доказать, что вообще если точка X" на с лежит правее Х\ то перпендикуляр X"Y" короче X'Y'. Мы не будем на ьэтом останавливаться. Проведенное рассуждение, мы надеемся, достаточно выясняет суть дела, а строгие доказательства не входят в нашу задачу.
Но замечательным оказывается, что, как можно доказать, расстояние XY не только убывает при движении точки X по прямой с вправо, но оно стремится к нулю, когда точка X удаляется в бесконечность. То-есть параллельные прямые а и с асимптотически сближаютсяI Вместе с тем можно доказать, что в противоположном направлении расстояние между ними не только увеличивается, но и растет до бесконечности.
В эвклидовой геометрии прямая, параллельная данной, проходит от нее на постоянном расстоянии. В геометрии же Лобачевского вообще не существует таких пар прямых, там прямые всегда расходятся до бесконечности или в одну сторону или в обе стороны. Линия же, проходящая на постоянном расстоянии от данной прямой, никогда не будет прямой, а является некоторой кривой, называемой эквидистантой, т. е. равноудаленной.
Эти выводы геометрии Лобачевского поистине поразительны и никак не вяжутся с привычными наглядными представлениями. Но как мы уже говорили, такое несоответствие не может быть аргументом против геометрии Лобачевского как отвлеченной теории, логически развиваемой из принятых предпосылок.
4. Рассмотрим теперь еще угол параллельности, т. е. тот угол у, который образует прямая с, параллельная данной прямой а, с перпендикуляром CA (рис. 6). Докажем, что этот угол тем меньше, чем дальше § 3. Геометрия Лобачевского
105
точка С от прямой а. Для этого докажем сначала следующее. Если две прямые Ъ и Ъ' образуют с секущей BB' равные углы а, а', то эти прямые имеют общий перпендикуляр (рис. 7).
Для доказательства проведем через середину О отрезка BB' прямую CC', перпендикулярную прямой Ь. Получим два треугольника OBC и ОВ'С'. Их стороны OB и OB' равны по построению. Углы при общей вершине О равны, как вертикальные. Угол а" равен углу а', так как они тоже вертикальные. Угол же а равен углу а' по условию. Следовательно, угол а. равен также углу а". Таким образом, у наших треугольников OBC и ОВ'С' равны стороны OB и OB' и прилежащие к ним углы. А тогда по известной теореме треугольники равны, т. е. равны, в частности, их углы при С и С'. Но угол С прямой, так как по построению прямая CC' перпендикулярна Ь. Следовательно, угол С' также прямой, т. е. CC' перпендикулярна также и к прямой Ь'. Таким образом, отрезок CC является общим перпендикуляром к обеим прямым Ь и Ь'. Существование общего перпендикуляра доказано.
Теперь докажем, что угол параллельности убывает с увеличением расстояния от прямой. To-есть, если точка С' лежит от прямой а дальше, чем С, как на рис. 6, то параллель с', идущая из С", образует с перпендикуляром С'А меньший угол, чем параллель с, идущая из С.
Для доказательства проведем из С' прямую с'' под тем же углом к С'А, под каким идет параллель с. Тогда прямые с и с" образуют с секущей CC равные углы. Поэтому, как только что доказано, они имеют общий перпендикуляр BB'. Тогда из основания В' этого перпендикуляра можно провести прямую с"', параллельную с и образующую с перпендикуляром угрл меньше прямого, потому что, как мы уже знаем, параллель образует с перпендикуляром угол меньше прямого. Возьмем теперь в угле между с" и с"' любую точку M и проведем прямую С'М. Она войдет в угол между с", с"' и дальше уже не сможет пересечь с"'. Тем более она не будет пересекать прямую с. Но она образует с AC уже меньший угол, чем с", т. е. угол меньший у. Тем более, еще меньший угол будет образовывать параллель с', поскольку она является самой крайней
У
їґ
vV f
Рис. 7. 106
Глава XVII. Абстрактные пространства
из всех прямых, идущих из С' и не пересекающих а. Следовательно, параллель с' образует с С'А угол меньший, чем с, а это и значит, что угол параллельности убывает при переходе к более далекой точке С", что и требовалось доказать.
