Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
1. Итак, Лобачевский принял за основу утверждение, противоположное V постулату: в данной плоскости через точку можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие данную прямую. Отсюда он вывел ряд далеко идущих следствий, которые и образовали новую геометрию. Эта геометрия строилась, следовательно, как некоторая мыслимая теория, как совокупность теорем, логически доказываемых: исходя из сделанного предположения, в соединении с другими 1 основными посылками эвклидовой или, как говорил Лобачевский, «употребительной» геометрии.
В своих выводах Лобачевский получил все результаты, аналогичные результатам «употребительной» элементарной геометрии, т. е. дошел до неэвклидовой тригонометрии и решения треугольников, до вычисления площадей и объемов. Мы не можем здесь проследить эту цепь выводов Лобачевского не потому, что они слишком сложны, а прежде всего по недостатку места. Ведь и школьный курс «употребительной» геометрии
1 Эти, так сказать, «остальные» положения геометрии будут ниже (в § 5) тоже точно сформулированы. 102
Глава XVII. Абстрактные пространства
А
Ъ'
довольно велик, а выводы Лобачевского, конечно, не проще и не короче этих «употребительных» выводов. Поэтому мы отметим здесь только некоторые поразительные результаты Лобачевского, отсылая читателя, интересующегося более глубоким изучением неэвклидовой геометрии, к специальной литературе. Дальше же мы выясним простой реальный
смысл неэвклидовой геометрии. — Начнем с теории параллель-
ных линий. Пусть дана прямая а и точка А вне ее. Опустим из А перпендикуляр AB на прямую а. По основному предпо-ложению существуют по крайней мере две. прямые, проходящие через точку А и не пересекающие нашу прямую а. Тогда всякая (прямая, идущая в угле между этими прямыми, также не і пересекает а. На рис. 2 прямые b и Ь' при продолжении пересекут а вопреки предположению Лобачевского. Но в этом нет ничего удивительного. Ведь Лобачевский рассуждал не о чертежах, которые мы делаем на обычной плоскости; он развивал логические следствия из своего предположения, которое
в
Рис. 2.
Рис. 3.
противоречит тому, что мы привыкли видеть на чертежах. Чертежи здесь играют только вспомогательную роль; на них не изображаются в точности факты неэвклидовой геометрии, поскольку мы проводим на чертеже обычные, в пределах точности чертежа — безусловно эвклидовы — прямые на обычной плоскости.
Это противоречие между логической возможностью и наглядным представлением было главной трудностью в понимании геометрии "Лобачевского. Но если речь идет о геометрии как логической теории, то нужно заботиться о логической строгости рассуждений, а не о согласии с привычными чертежами.
2. Вернемся опять к нашей прямой а и точке А. Проведем из А полупрямую х, не пересекающую а (например, перпендикулярную AB), и будем вращать ее вокруг А так, чтобы угол <р между AB и х уменьшался, не доводя, однако, эту полупрямую до пересечения с а. Тогда полупря- § 3. Геометрия Лобачевского
103
мая X будет стремиться к предельному положению, отвечающему наименьшему значепию^угла <р. Эта предельная полупрямая с также не будет пересекать а.
Действительно, если бы она пересекала прямую а в какой-то точке X (рис. 3), то мы могли бы взять точку X' правее и получили бы полупрямую AX', пересекающую а, но образующую с AB больший угол. А это невозможно, так как по построению полупрямой с любая полупрямая ж, образующая с AB бблыпий угол, прямую а уже не пересекает.
Следовательно, полупрямая с не пересекает а и является вместе с тем крайней из всех полупрямых, проходящих через точку Л и не пересекающих прямую а.
В в, вг B3 Y
Рис. 4. Рис. 5.
По симметрии очевидно, что с другой стороны также можно провести полупрямую с', не пересекающую а и самую крайнюю из всех таких полупрямых. Если бы с и с' служили продолжением друг друга, то они образовали бы вместе одну прямую с+с'. Эта прямая была бы тогда единственной прямой, параллельной а и проходящей через данную точку А, потому что при малейшем ее вращении или с, или с' должна была бы пересечь а. А раз предположено, что параллельная не одна, а их по край-лей мере две, то полупрямые с и с' не являются продолжением друг друга.
Итак, мы доказали первую теорему геометрии Лобачевского:
Из точки А, не лежащей на данной прямой а, можно провести две полупрямые с и с' так, что они не пересекают прямую а, но любая полупрямая, идущая в угле между ними, пересекает прямую а.
Если продолжить полупрямые с и с', то получим (рис. 4) две прямые, не пересекающие а и обладающие тем свойством, что всякая прямая, проходящая через А в угле ос между этими прямыми, не пересекает прямую а, а всякая прямая, проходящая в угле ?, пересекает прямую а. Такие прямые с, с' Лобачевский назвал параллельными прямой а: прямую с — параллельной справа, прямую с' — параллельной слева. Половину угла ? Лобачевский назвал углом параллельности; он меньше прямого, поскольку ? меньше двух прямых.
3. Рассмотрим теперь, как меняется расстояние от точки X на ярямой с до прямой а при движении X вдоль с (рис. 5). В эвклидовой 104
