Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, к началу XIX в. проблема доказательства V постулата оставалась так же не решенной, как было во времена Эвклида. Усилия оставались тщетными, и задача, казалось, не продвинулась. Поистине то была глубокая загадка геометрии: задача, разрешимость которой казалась несомненной лучшим геометрам, никак не поддавалась решению в течение двух тысяч лет.
Теория параллельных стала в XIX в. одной из центральных задач геометрии. Ею занимались многие геометры: Гаусс, Лагранж, Даламбер, Лежандр, Вахтер, Швейкарт, Тауринус, Фаркаш Ббйаи и другие.
Однако доказательство постулата не удается. В чем же дело: в неумении ли решить задачу, или, может быть, задача неверно поставлена? Этот вопрос уже начинал возникать перед некоторыми из геометров, превосходившими других глубиной мысли. Гаусс, знаменитейший немецкий математик, бьется над задачей начиная с 1792 г. и постепенно перед ним вырисовывается правильная постановка вопроса. Наконец, он решается отказаться от V постулата и начиная с 1813 г. развивает последовательность теорем, выводимых из противоположного утверждения. Несколько позже тем же путем идут немецкие математики Швейкарт в бытность его профессором права в Харькове и затем Тауринус. Но никто из них не нашел окончательного ответа на вопрос. Гаусс тщательно скрывал свои исследования, Швейкарт ограничился частным письмом к Гауссу, и лишь Тауринус выступил в печати с элементами новой геометрии, основанной на отрицании V постулата. Однако он сам исключал возможность такой геометрии. Таким образом, никто из них не решил задачи, и вопрос о правильности всей ее постановки оставался без ответа. Ответ впервые был дан Н. И. Лобачевским, молодым профессором Казанского университета: 23 февраля 1826 г. он прочел в заседании физико-математического факультета доклад о теории параллельных, а в 1829 г. опубликовал его содержание в журнале Казанского университета.
§ 2. РЕШЕНИЕ ЛОБАЧЕВСКОГО
1. Сущность решения проблемы V постулата, данного Лобачевским, выражена им самим в сочинении «Новые начала геометрии» (1835) в следующих словах:
«Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времен Эвклида, в продолжение двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. В справедли- § 3. Геометрия Лобачевского
97
вости моей догадки будучи, наконец, убежден и почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 году».
Разберем, что имел в виду Лобачевский в этом высказывании, в котором, как в фокусе, сконцентрирована новая его идея, не только давшая решение вопроса о V постулате, но повернувшая по-новому все понимание геометрии, да и не одной геометрии.
Н. И. Лобачевский еще в 1815 г. начал работать над теорией параллельных, пытаясь вначале, подобно другим геометрам, доказать V постулат. В 1823 г. он уже ясно осознал, что все доказательства, «какие были даны, могут называться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами» Ч Тут он увидел, что «в самих понятиях не заключается той истины, которую хотели доказывать», т. е., иными словами, из основных посылок и понятий геометрии нельзя вывести V постулат. Как он убедился, что такой вывод невозможен?
Он убедился в этом, далеко уйдя по тому пути, на котором первые шаги делали еще Саккери и Ламберт. В качестве предположения он ввел утверждение, противоположное эвклидовскому постулату, а именно: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две прямые, параллельные данной». Примем это утверждение условно как аксиому и, присоединив его к другим положениям геометрии, будем развивать отсюда дальнейшие следствия. Тогда, если такое утверждение несовместимо с другими положениями геометрии, мы придем к противоречию, и тем самым V постулат будет доказан от противного: противоположное предположение приводится к противоречию. Однако поскольку такого противоречия не обнаруживается, приходим к двум выводам, которые и сделал Лобачевский.
Первый вывод состоит в том, что V постулат не доказуем. Второй вывод состоит в том, что на основе противоположной, только что сформулированной аксиомы можно развивать цепь следствий — теорем, которые не будут заключать противоречия. Эти следствия образуют тем самым некоторую логически возможпую, непротиворечивую теорию, которая может рассматриваться как новая, неэвклйдова геометрия. Лобачевский осторожно назвал ее «воображаемой», поскольку не мог еще найти ее реального объяснения. Но логическая ее возможность для него была ясна. Высказывая и отстаивая это твердое убеждение, Лобачевский проявил истинное величие гения, который не колеблясь отстаивает свои убеждения, а не прячет их от общественного мнения, опасаясь непонимания и критики.
Итак, первые два вывода, полученные Лобачевским, состояли в утверждении недоказуемости V постулата и в возможности развить на основе
