Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. АКСИОМЫ ГЕОМЕТРИИ, ИХ ПРОВЕРКА ДЛЯ УКАЗАННОЙ МОДЕЛИ
1. Для того чтобы строго математически доказать, что модель Клейна !действительно дает истолкование геометрии Лобачевского, нужно прежде всего точно формулировать, что же собственно нужно доказывать. Проверять подряд теоремы Лобачевского было бы бессмысленно; их много, притом неограниченно много, поскольку можно доказывать все новые и новые теоремы. Достаточно будет, однако, показать, что в модели Клейна выполняются основные положения геометрии Лобачевского, из которых остальные уже могут быть выведены. Но в таком случае нужно точно формулировать эти основные положения.
Таким образом, задача о доказательстве непротиворечивости геометрии Лобачевского приводит к задаче о точной и полной формулировке ее основных положений, т. е. аксиом. А так как посылки геометрии Лобачевского отличаются от посылок геометрии Эвклида одной аксиомой параллельности, то задача сводится к точной и полной формулировке аксиом эвклидовой геометрии. У Эвклида такой формулировки еще не было; у него, в частности, вовсе отсутствовало какое бы то ни было определение свойств движения или наложения фигур, хотя он ими, конечно, пользовался. Задача об уточнении и пополнении
1 Математики обычно говорят, что геометрия Лобачевского изображается в геометрии Эвклида, и тем самым [она [непротиворечива в той же мере, в какой непротиворечива геометрия Эвклида.
2 Модель Пуанкаре сводится к тому, что за плоскость Лобачевского принимается опять внутренность круга, но прямыми считаются уже дути окружностей, перпендикулярные окружности данного круга; движением считается любое конформное преобразование крута самого в себя. (Связь с конформными преобразованиями и дает гвязь с теорией функций комплексного переменного.) 118
Глава XVII. Абстрактные пространства
аксиом Эвклида встала во весь рост именно в связи с развитием геометрии Лобачевского, а также в связи с наметившимся в конце прошлого столетия общим течением к уточнению основ математики.
В результате исследований ряда геометров вопрос о формулировке аксиом геометрии был решен.
Вообще аксиомы можно выбирать различно, принимая в качестве основных разные понятия. Мы приведем здесь список аксиом геометрии на плоскости, в котором основными понятиями служат точка, прямая, движение и такие понятия, как точка X лежит на прямой а; точка В лежит между точками А и С; движение переводит точку А* в точку Y. (В таком случае другие понятия через них определяются; так, например, отрезок определяется как множество всех точек, лежащих между двумя данными.)
Аксиомы делят на пять групп.
I. Аксиомы сочетания
1) Через каждые две точки проходит прямая и притом только одна.
2) На каждой прямой есть по крайней мере две точки.
3) Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
II. Аксиомы порядка
1) Из любых трех точек прямой только одна лежит между двумя другими.
2) Если А, В — две точки прямой, то на той же прямой есть хотя бы одна точка С, такая, что В лежит между А ж С.
3) Прямая делит плоскость на две полуплоскости (т. е. разбивает все не лежащие на ней точки плоскости на два класса так, что точки одного класса соединимы отрезком, ее не пересекающим, а разных — нет).
III. Аксиомы движения
(Движение понимается не как преобразование отдельной фигуры, а как преобразование всей плоскости.)
1) Движение переводит прямые в прямые.
2) Два движения, произведенные одно за другим, равносильны некоторому одному движению.
3) Пусть А, А' и а, а' — две точки и исходящие из них полупрямые, а а, а' — полуплоскости, ограниченные продолженными прямыми а и а; существует и притом единственное движение, переводящее .4 в Л', а в а' и а в а'. (Говоря наглядно, точка -А переводится в А' § д. Аксиомы геометрии, их проверка для указанной, модели
119
переносом, затем поворотом полупрямая а переводится в а', и тогда полуплоскость а либо совпадает с а', либо еще нужно будет произвести «переворот» вокруг прямой а.)
IV. Аксиома непрерывности
Пусть точки X1, X2, Xv ... расположены на прямой так, что каждая следующая лежит правее предыдущей, но при этом есть точка А, которая лежит правее их всех1. Тогда существует такая точка В, которая тоже лежит правее всех точек X1, X2, ..., но так, что сколь угодно близко от нее есть точки Xn (т. е. какую точку С левее В ни взять, на отрезке CB есть точки Х„).
V. Аксиома параллельности (Эвклида)
Через данную точку может проходить лишь одна прямая, не пересекающая данной прямой.
Таковы аксиомы, достаточные для построения эвклидовой геометрии на плоскости. Из них фактически можно вывести все теоремы школьного курса планиметрии, хотя вывод этот очень кропотлив.
Аксиомы геометрии Лобачевского отличаются только в части акспомы параллельности.
V'. Аксиома параллельности (Лобачевского)
Через лежащую вне прямой точку проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие дапиой прямой.
Может показаться немного странным, что в списке аксиом есть, например, такая: «на каждой прямой есть по крайней мере две точки». Ведь по нашему представлению о прямой на ней есть даже бесконечное множество »точек. Не мудрено, что ни Эвклиду, нп кому-либо из математиков до конца прошлого века не приходило в голову формулировать такую аксиому: она подразумевалась. Но теперь положение изменилось. Когда мы даем повое истолкование геометрии, то под прямой понимается уже пе обычпая прямая, а что-то другое: геодезическая линия на поверхности, хорда круга или еще что-нибудь. Поэтому встает задача точно и исчерпывающим образом формулировать явно все, что мы должны потребовать от тех объектов, которые будут изоб-. ражать прямые. То же относится ко всем другим понятиям и аксиомам.
