Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ax +By+ C = O. (5) § 4. Реальный смысл геометрии Лобачевского
115
После преобразования (4) получим
1 — ах 1 1 — ах 1
или, приводя к общему знаменателю,
(А — аС) х? -f В \/1 — а2 у' + (С — аА) = 0.
Это уравнение линейное и, стало быть, представляет прямую. Это и есть та прямая, в которую при преобразовании переходит прямая (5).
Отметим еще, что преобразование (3) переводит ось Ox саму в себя, вызывая лишь смещение точек вдоль нее. Это ясно, так как на этой оси у = 0, а по формуле (3) тогда также у' = 0. На оси Ox преобразование задается одной формулой
(IflKI). (3')
На этой прямой отрезок XxX2 переходит b отрезок X11X^ по формуле (3'), и по условию эти отрезки считаются равными. Так и происходит «откладывание отрезка».
Для центра О круга I = O и, соответственно, х' = а, т. е. при преобразовании (3') центр переходит в точку А с координатой X = а.
Так как а можно задать любое, лишь бы было |а|<[1, то цептр можно перевести в любую точку на диаметре вдоль оси Ох.
При том же преобразовании точка, ранее ^находившаяся в А, перейдет в точку A1 с координатой
_ а -(- а_ 2 а
Xl 1 + a* 1 4-0«'
Таким образом, отрезок OA при преобразовании (3) переходит в отрезок AA1 — происходит «откладывание» эгого отрезка на «прямой»* изображаемой диаметром круга. ,
Повторяя то же преобразование, мы можем отложить тот же отрезок дальше сколько угодно раз. Точка An с координатой х„ будет переходить в точку Ап+1 с координатой
„ _ Д» + а
00,1+1 — 1 + ахк'
Так мы будем получать точки A, Av A2, ... с координатами
___ 2 а _ Xy а _ 3 a -j- а3
X0-a, X1-^a2, х2 — j + — 1 + Ъа2, . , .
Поскольку все отрезки AnAen получаются из OA преобразованием,, изображающим движение, все опи «равны» между -собою — равны в смысле геометрии Лобачевского как она изображается на модели., 116
Глава XVII. Абстрактные пространства
Легко доказать, что точки An сгущаются к концу диаметра. В смысле модели они удаляются в бесконечность.
Так как оси Ox можно придать любое направление, то такие же преобразования сдвига возможны вдоль любого диаметра. Комбинируя их с вращениями вокруг центра круга и отражениями в диаметре, получим все «движения», как они понимаются на модели; они составляются из сдвигов, вращений и отражений. Подробнее эти преобразования будут рассмотрены в следующем параграфе, где будет строго доказано, что действительно в нашей модели выполняется геометрия Лобачевского и что, в частности, преобразования, принятые за движения, удовлетворяют всем условиям (аксиомам), каким подчиняются движения в геометрии.
Повторим снова, какую же модель геометрии Лобачевского предложил Клейн. За плоскость принимается внутренность круга; точкой
считается точка, прямой — хорда (концы исключены), движением считается преобразование, переводящее круг сам в себя й хорды в хорды; расположение точек (точка лежит на прямой; точка лежит между двумя другими) понимается с обычном смысле. Закон измерения длии и углов (а также и площадей) уже вытекает из того, что движение определено, и тем самым определено равенство отрезков и углов (и любых фигур), и тем же определена операция отклз дывания одного отрезка вдоль другого, При всех этих условиях всякой теореме геометрии Лобачевского на плоскости соответствует факт эвклидовой геом°трии внутри круга, и обратно: всякий такой факт пересказываета в виде теор?мы геометрии Лобачевского.
Совершенно аналогично строится модель геометрии Лобачевского в пространстве. За пространство принимается внутренность какого-либо шара (рис. 13), прямой считается хорда, плоскостью — круг с окружностью на поверхности шара, причем самая поверхность шара а значит, концы хорд п окружности названных кругов исключаются наконец, движение определяется как преобразование шара самой в себя, переводящее хорды в хорды.
Когда эта модель геометрии Лобачевского была дана, было уста новлено тем самым, что эта геометрия имеет простой реальный смысл Геометрия Лобачевского истинна уже потому, что может быть поя» маема как особое изложение геометрии в круге или в шаре. Этим я была доказана ее непротиворечивость: выводы ее не могут приводит к противоречию, так как всякий ее вывод можно пересказать на языи
Рис. 13. § д. Аксиомы геометрии, их проверка для указанной, модели 117
обычной эвклидовой геометрии внутри круга (или внутри шара, если речь идет о геометрии Лобачевского в пространстве)1.
3. После Клейна другую модель геометрии Лобачевского дал французский математик Пуанкаре, который применил ее к выводу важных результатов в теории функций комплексной переменной2. Таким образом, в его руках геометрия Лобачевского привела к решению трудных проблем из совсем другой области математики. Геометрия Лобачевского нашла ряд других приложений в математике и теоретической физике; так, например, в 1913 г., физик Варичак дал ее применения в теории относительности.
Геометрия Лобачевского успешно развивается, в пей разрабатывается теория геометрических построений, общая теория кривых и поверхностей, теория выпуклых тел и др.
