Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Для дальнейшего перевода теорем Лобачевского на язык обычной геометрии внутри круга необходимо выяснить, как должны измеряться в круге отрезки и углы, чтобы это измерение отвечало геометрии Лобачевского. Конечно, это измерение не будет совпадать с обычным, потому что в обычном смысле хорда имеет конечную длину, а прямая, которую изображает хорда, бесконечна. В этом можно было бы даже усмотреть некоторое противоречие, но мы увидим, что никакого противоречия тут нет.
Прежде всего вспомним, что измерение длин отрезков производится следующим образом. Выбирается какой-либо отрезок AB, длина которого принимается равной единице, и Длина любого другого отрезка XY определяется сравнением его с отрезком AB. При этом отрезок AB откладывается вдоль отрезка XY. Если остается еще доля отрезка XY, меньшая AB, то отрезок AB делят, например, на 10 равных частей (равных в том смысле, что каждая получается из другой движением); эти доли откладывают на оставшейся части отрезка XY\ потом, если нужно, делят отрезок AB на 100 частей и т. д. В результате длина отрезка XY выразится в виде десятичной дроби, которая может быть и бесконечной. Стало быть, измерение длины производится путем пере- § 4. Реальный смысл геометрии Лобачевского
113
движения целого или части отрезка, принятого за единицу, т. е. измерение основано на движении. А раз движения уже определены (мы определили-их в данном случае как преобразования круга, переводящие прямые в прямые), то тем самым известно, какие отрезки считаются равными и как нужно измерять длину. Словом, определение движения уже включает, хотя и в неявном виде, закон измерения длин. Совершенно так же углы измеряют откладыванием угла, принятого за единицу. Таким образом, закон измерения углов также содержится в определении движения.
Законы измерения длин и углов, отвечающие геометрии Лобачевского, получаются довольно простыми, хотя и существенно отличными от
обычных. Приводить их вывод мы не будем, тэк как это не имеет в наших рассуждениях принципиального значения1.
Закон измерения длин оказывается таким, что хорда имеет бесконечную длину. И это потому, что если путем преобразования, принятого нами за движение, перевести отрезок AB в отрезок BB1, далее в отрезок B1B2 и т. д., то получаемые отрезки Bk?k+l будут становиться в обычном смысле все короче (хотя и будут равными в смысле нашей модели геометрии Лобачевского; рис. 12). Точки B1, B2, ..., Bk, ... будут сгущаться к концу хорды. Но хорда у нас не имеет конца: конец ее по условию исключен, и она уже в этом смысле «бесконечна». В смысле геометрии Лобачевского точки B1, B2, ... никуда не будут сгущаться, они будут уходить в бесконечность. Путем преобразования, принятого нами за движение, откладывая друг за другом равные отрезки, нельзя изнутри круга достигнуть его окружности.
1 Закон измерения длин оказывается следующим. Пусть отрезок AB лежит на хорде CD (рис. 12). Измеряем отрезки обычным образом и составляем так назы-
CB DB
ваемое сложное отношение -q-д ¦ • kro логарифм принимают за длину отрезка AB.
8 Зак. № 812
?
Рис. 11.
Рис. 12. 114
Глава XVII. Абстрактные пространства
Для того чтобы лучше понять, как в модели откладывают отрезок, рассмотрим то преобразование, которое играет роль переноса вдоль прямой.
Пусть на плоскости введены прямоугольные координаты с началом в центре круга. Для определенности будем считать, что наш круг имеет радиус, равный единице, так что его окружность представляется уравнением х2-\-у2 = 1, а точки впутри круга удовлетворяют неравенству 3? у2
Рассмотрим преобразование, заданное формулами
, X + а , у v'l—а2
^ = T+— > У = iVl-» (3)
іах ' а 1 -J- ах ' v/
где xf, у1 — кординаты точки, в которую переходит после преобразования точка, первоначально имевшая координаты ж, у, а а — любое данное число, по абсолютной величине меньше единицы.
Если из формул (3) найти х и у, то получим, как легко проверить, обратное выражение х, у через Xr, у'
х' — а у' v'l — а2
X=-.-, , y= J—-— . (4)
1 — ах » J 1 — ах '
Преобразование (3) удовлетворяет двум условиям для «движений» в нашей модели: 1) опо переводит круг сам в себя; 2) оно переводит прямые в прямые.
Для доказательства первого свойства надо, собственно говоря, убедиться, что неравенство или равенство х2 + у2^ 1 влечет за собой соответствующее соотношение ж'2-]-?/'2и обратно. Покажем, например, что при X2у2 = I обязательно и a/2-f-у'2 = 1, т. е. что точки, лежавшие на окружности данного круга, остаются снова на ней.
Вычисляем х'2-\-у'2, пользуясь формулами (3) и считая х2-\- у2 = 1, т. е. у2 = 1 — x2i
J* і '2_(г + я)2 + У2П-«2) _ (* + д)8 + (1-*»)(!-««) _ ~~ (1 -f- ах)* (1-І-ах)*
_ х* + 2ах -J- я2 -J- 1 — X2 — a"- -J- а»-х2 _ 1 -J- 2ах -J- а2ж2_,
(1 ах)2 1 -J- Zax -J- а2х2
Следовательно, при х2-\-у2= 1 также .г'2-f-у'2 = 1. Аналогично проверяются остальные случаи.
Второе свойство преобразования (3) устанавливается столь же просто. В самом деле, мы знаем, что всякая прямая представляется линейным уравнением, и, обратно, всякое липейное уравнение представляет прямую. Пусть дана прямая
