Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим, например, проектирование рисунка с одной плоскости на другую (рис. 17). Длины отрезков при этом меняются, изменяются углы, явно искажаются очертания предметов. Однако, например, свойство ряда точек лежать на одной прямой сохраняется, сохраняется свойство прямой касаться какой-нибудь линии и т. д.
О проектировании и проективных преобразованиях уже шла речь в главе HI, где отмечалась их очевидная связь с перспективой — изображением пространственных фигур на плоскости. Исследование
ИЗ ЭВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
Рис. 17. § 6. Выделение геометрических теорий иа эвклидовой геометрии 125
свойств перспективы восходит к далеким временам до Эвклида, к работам древних архитекторов; перспективой занимались художники: Дюрер, Леонардо да Винчи, инженер и математик Дезарг (XVII в.). Нако^ нец, в начале XIX в. Понселе впервые последовательно выделил и исследовал геометрические свойства, сохраняющиеся при любых проективных преобразованиях плоскости (или пространства), создав тем самым самостоятельную науку — проективную геометрию1.
Рис. 18.
Казалось бы, свойств, сохраняющихся при любом проективном преобразовании, немного и они весьма примитивны, но это далеко не так. Не сразу, например, обращаешь впимапие па то, что теорема, утверждающая, что точки попарного пересечения продолжений противоположных сторон вписанного в Kpj r шестиугольника лежат на одной прямой, верна и для эллипса, параболы и гиперболы. Она говорит лишь о проективных свойствах, а эти кривые получаются проектированием круга. Тем более не очевидно, что теорема о пересеченпи в одной точке диагоналей описанного шестиугольника является своеобразным аналогом указанной выше теоремы; их глубокая связь вскрывается именно в проективной, геометрии. Не очевидно также, что при проектировании, несмотря на искажение расстояний, для всяких четырех точек А, В, С, D (рис. 18), лежащих на одвой прямой, двойное AC AD
отношение -Qg : -pjf остается неизменным
AC AD _А'С' . A D'
CB -DB С'В' : D'R' '
1 Понселе — французский военный инженер, занимавшийся геометрическими исследованиями во время пребывания в плену в России после 1812 г. Свой «Трактат о проективных свойствах фигур» он опубликовал в 1822 г. 126
1 лава XVII. Абстрактные пространства
Это влечет за собой соблюдение в перспективо многих соотношений. Например, используя это обстоятельство, легко по снимку уходящей в даль дороги (рис. 18), где видно расположение телеграфных столбов А', В', С', определить расстояние от них до пункта D'-
О проективной геометрии и использовании ее выводов в работах по аэрофотосъемке шла речь в главе III (том 1). Разумеется, ее законы используются в архитектуре, а также при построении панорам, декораций и т. п.
Выделение проективной геометрии сыграло важную роль в развитии самой геометрии.
2. Другим примером самостоятельной геометрии может служить аффинная геометрия. В ней исследуются те свойства фигур, которые не меняются при любых преобразованиях, в которых декартовы координаты первоначального (х, у, z) и нового (х', у', z') положения каждой точки связаны между собой линейными уравнениями:
х' = U1X + Ъху + C1Z + (I1,
у' = а2х + Ь> У + С1г + d2> z' = a3x 4- b3y 4- c3z 4- d3
(предполагается, что определитель
O1 ^1 C1
а2 h Ч
az bS сз
отличен от нуля).
. Как оказывается, любое аффипное преобразование сводится к движению, может быть, еще отражению в плоскости, а затем к сжатиям или растяжениям пространства в трех взаимно перпендикулярных направлениях.
При любом из таких преобразований сохраняются уже довольно многие свойства фигур. Прямые остаются прямыми (вообще все «проективные» свойства сохраняются); кроме того, параллельные прямые остаются параллельными; сохраняется отношение объемов, отношение площадей фигур, лежащих в параллельных плоскостях или на одной и той же плоскости, отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или параллельных прямых, и т. д. Многие хорошо известные всем теоремы по существу принадлежат аффинной геометрии. Таковы, например, утверждения, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, что диагонали параллелограма взаимно делятся пополам, что середины параллельных хорд эллипса лежат на одной прямой и т. д.
С аффинной геометрией теснейшим образом связана вся теория кривых (и поверхностей) 2-го порядка. Само разделение этих кривых на эллипсы, параболы, гиперболы основано между прочим на аффинных свойствах фигуры: при аффинных преобразованиях эллине преоб- § 6. Выделение геометрических теорий иа эвклидовой геометрии
127
разуется именно в эллипс, но никак не в параболу или гиперболу; аналогично, парабола может быть преобразована в любую другую параболу, по не в эллипс и т. д.
Важность выделения и подробного исследования общих аффинных свойств фигур усугубляется тем, что несравненно более сложные преобразования в бесконечно малом оказываются по существу линейными, т. е. аффинными, а применение методов дифференциального исчисления связано именно с рассмотрением бесконечно малых областей пространства.
