Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Математика ее содержание, методы и значение Том 3
Автор: Александров А.Д.Издательство: М.: Академия наук
Год издания: 1956
Страницы: 336
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145
Скачать:
КАДЕМИЯ НАУК CGG МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. А. СТЕКЛОВА
МАТЕМАТИКА,
ЕЕ СОДЕРЖАНИЕ, МЕТОДЫ И ЗНАЧЕНИЕ
ТОМ ТРЕТИЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР
МОСКВА 1956 РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
член-корр. AН СССР А. Д. АЛЕКСАНДРОВ академик А. Н. КОЛМОГОРОВ, академик М. А. ЛАВРЕНТЬЕВ Глава XV
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
К концу XVIIl — началу XIX в. дифференциальное и интегральное исчислепие было в основном разработано. До этого времени (фактически, весь XVIII век) ученые были заняты построением его отдельных разделов, открывали все новые и новые факты, развивали все новые и новые области приложений дифференциального и интегрального исчисления к различным вопросам механики, астрономии, техники. Теперь появилась возможность обозреть полученные результаты, заняться их систематизацией, вникнуть в смысл основных понятий анализа. И вот выясняется, что с основами анализа дело обстоит не совсем благополучно.
Еще в XVIII в. у крупнейших математиков того времени не было единого мнения насчет того, что такое функция. Это приводило к долгим спорам о том, правильно или неправильно то или иное решение задачи, правилен или неправилен тот или иной конкретный математический результат. Постепенно »выяснилось, что и другие основные понятия анализа нуждаются в уточнении. Недостаточно четкое понимание того, что такое непрерывность и каковы свойства непрерывных функций, привело к появлению ряда ошибочных утверждений, например, что непрерывная функция всегда дифференцируема. Математика стала оперировать со столь сложными функциями, что стало уже невозможно ссылаться на очевидность и догадку. Появилась настоятельная необходимость навести порядок в основных понятиях анализа.
Первая серьезная попытка в этом направлении была предпринята Лагранжем, а затем на тот же путь встал Коши. Коши уточнил и ввел во всеобщее употребление сохранившиеся до наших дней определения предела, непрерывности, интеграла. Примерно в то же время чешский математик Больцано провел строгое изучение основных свойств непрерывных функций.
Рассмотрим эти свойства непрерывных функций более подробно. Пусть непрерывная функция /(я) задана на некотором отрезке [а, Ь], т. е. для всех чисел, удовлетворяющих неравенствам a ^x Ранее считалось очевидным, что если на концах отрезка функция принимает 4
Глава XV. Теория, функций действительного переменного
значения разных знаков, то в некоторой промежуточной точке она обращается в нуль. Теперь этот факт получил строгое обоснование. Точно так же было строго доказано, что непрерывная функция, заданная на отрезке, принимает в некоторых точках свое наибольшее и наименьшее значение.
Исследование этих свойств непрерывных функций заставило глубже вникнуть в природу действительных чисел. В результате появилась теория действительных чисел, были четко сформулированы основные свойства числовой прямой.
Дальнейшее развитие математического анализа привело к необходимости рассматривать все более и более «плохие», в частности разрывные, функции. Разрывные функции появляются, например, как пределы непрерывных функций, причем заранее не известно, будет ли предельная функция непрерывной, или нет, а также при схематизации процессов с резким внезанным изменением. Возникла новая задача — обобщение аппарата анализа на разрывные функции.
Риман исследовал вопрос о том, на какие классы разрывных функций распространяется понятие интеграла. В результате всей этой деятельности по обоснованию анализа появилась новая математическая дисциплина: теория функций действительного переменного.
Если классический математический анализ оперирует в основном с «хорошими» (например, непрерывными, дифференцируемыми) функциями, то теория функций действительного переменного изучает значительно более общие классы функций. Если в математическом анализе дается определение какой-либо операции (например, интегрирования) для непрерывных функций, то для теории функций действительного переменного характерно исследование вопроса о том, для какого класса функций применимо это определение, как следует видоизменить определение, чтобы оно стало более широким. В частности, лишь теория функций действительного переменного смогла дать удовлетворительный ответ на вопрос о том, что такое длина кривой и для каких кривых имеет смысл говорить о длине.
Основанием, на котором строится сама теория функций действительного переменного, является теория множеств.
В соответствии с этим мы начинаем нате изложение с рассмотрения элементов теории множеств, затем переходим к изучению точечных множеств и завершаем главу изложением одного из основных понятий теории функций действительного переменного, а именно интеграла Лебега.
§ 2. МНОЖЕСТВА
Людям постоянно приходится иметь дело с различными совокупностями предметов. Как уже разъяснялось в главе I (том 1), это повлекло за собой возникновение понятия числа, а затем и понятия § 2. Множества
5
множества, которое является одним из основных простейших математических понятий и не поддается точному определению. Нижеследующие замечания имеют своей целью пояснить, что такое множество» но не претендуют на то, чтобы служить его определением.
