Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Нужно сказать, что внутреннюю геометрию псевдосферы за 30 лет до открытия Бельтрами уже исследовал Ф. Миндинг, который фактически установил свойства, показывающие ее совпадение с геометрией
Рис. 10. § 4. Реальный смысл геометрии Лобачевского
111
Лобачевского. Однако этого ни он, ни кто-либо другой не заметил, пока идеи Лобачевского не получили достаточного распространения. Бельтрами оставалось только сопоставить выводы Лобачевского и Мин-динга, чтобы увидеть их связь.
Открытие Бельтрами сразу изменило отношение математиков к геометрии Лобачевского; из «воображаемой» она стала реальной1.
2. Однако, как было подчеркнуто, на псевдосфере реализуется геометрия не всей плоскости Лобачевского, а лишь ее куска2. Поэтому оставалась еще не решенной задача выяснения реального смысла геометрии Лобачевского на всей плоскости и тем более в пространстве. Эта задача и была вскоре, в 1870 г., разрешена немецким математиком Клейном. Изложим, в чём состояло данное им решение.
Возьмем на обычной эвклидовой плоскости круг и будем рассматривать лишь внутренность этого круга, т. е. исключим из рассмотрения его окружность и область вне круга. Эту внутренность круга назовем условно «плоскостью» — она, оказывается, и будет играть роль плоскости Лобачевского. Хорды нашего круга назовем «прямыми», причем согласно принятому условию концы хорд как лежащие на окружности' исключаются. Наконец, назовем «движением» любое такое преобразование круга, которое переводит его самого в себя и оставляет прямые прямыми, т. е. не искривляет его хорд. Простейшим примером
1 История установления реального смысла геометрии Лобачевского была в действительности еще более сложной. Во-первых, уже сам Лобачевский владел средствами доказательства ее непротиворечивости посредством так называемой аналитической модели, но не мог еще до конца выразить такое доказательство. Это было сделано гораздо позже. Во-вторых, немецкий математик Риман в 1854 г. выступил с теорией, (см. § 10), в которой уже содержались выводы Бельтрами, но Риман не выразил их явно; его доклад не был понят и был опубликован лишь после его смерти в том же 1868 г., когда появилась работа Бельтрами. Вообще вся история геометрии Лобачевского от попыток доказательства постулата Эвклида до полного выяснения значения неэвклидовой геометрии чрезвычайно поучительна тем, что показывает, каких усилий и обходных путей требует часто открытие истины, которая потом оказывается простой и понятной.
2 Псевдосфера имеет всюду одинаковую отрицательную гауссову кривизну. Все поверхности постоянной отрицательной кривизны имеют (по крайней мере в малых кусках) ту же внутреннюю геометрию и тем самым могут служить для изображения геометрии Лобачевского. Однако, как доказал в 1901 г. Гильберт, никакая из этих поверхностей пе может быть бесконечно продолжена во все стороны без особенностей и потому не может реализовать всю плоскость Лобачевского. С другой стороны, в 1955 г. молодой голлавдский математик Кейпер установил, что существуют гладкие поверхности, реализующие в смысле их внутренней геометрии всю плоскость Лобачевского, но такие поверхности, хотя и гладкие, не могут быть непрерывно изогнутыми, они не имеют определенной кривизны.
Заметим еще следующее. При реализации геометрии Лобачевского на поверхности постоянной отрицательной кривизны К постоянная к, фигурировавшая в фор-
1
мулах предыдущего параграфа, получает простой смысл: к2 =--- . 112
Глава XVII. Абстрактные пространства
такого преобразования служит вращение круга вокруг центра, но оказывается, что таких преобразований гораздо больше. Каковы эти преобразования, будет сказано дальше.
Если ввести такие условные обозначения, то оказывается, что факты обычной геометрии внутри нашего круга превращаются в теоремы геометрии Лобачевского. И обратно: всякая теорема геометрии Лобачевского истолковывается как факт обычной геометрии внутри круга.
Например, по аксиоме Лобачевского через точку, не лежащую на дапной прямой, можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. Переводим эту аксиому на язык обычной геометрии согласно принятому условию, т. е. заменяя прямые хордами. Тогда мы получим утверждение: через точку внутри круга, не лежащую на данной хорде, можно провести по крайней мере две хорды, не пересекающие данную. Справедливость этого утверждения очевидна из рис. 11. Следовательно, аксиома Лобачевского здесь выполняется.
Вспомним далее, что в геометрии Лобачевского среди прямых, проходящих, через данную точку и не пересекающих данную прямую, есть две крайние, — те, которые по -Лобачевскому только и называются параллельными данной прямой. Это означает, что среди хорд, проходящих через данную точку Л и не пересекающих данную хорду ВС, есть две крайние хорды. И действительно, такими крайними хордами будут хорды, подходящие одпа к точке В, другая — к точке С. Они ведь не имеют с хордой ВС общих точек, поскольку точки, лежащие на окружности, мы исключаем. Таким образом, эта теорема Лобачевского здесь выполняется.
