Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда, например, по формуле (2) для окружности с радиусом даже в 100 км отношение ее длины к радиусу будет отличаться от 2-я меньше, чем на одну миллиардную. Того же порядка будут отклонения от других соотношений эвклидовой геометрии. В пределах одного километра
они будут уже порядка , т. е. IO-12, а в пределах метра — порядка
10-1S, т. е. будут совсем ничтожными. Таких отклонений от эвклидовой геометрии уже нельзя было бы заметить, потому что даже размеры атома в сто раз больше (они составляют величину порядка IO-13 км).
1 Например, если а, Ъ, с — катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника, то вместо теоремы Пифагора имеет место соотношение
е* +е *] = И "JW+e *).
?4 а4 + 6a2b2 4-Разлагая в ряды, получим: с2 + -у^ + • • • = °2 + 62H--L 12&2--}-¦¦¦> так
что при большом к получаем теорему Пифагора с2 = а2 + Ь2. Далее, по формуле
_ JL
Лобачевского для угла параллельности т (см. сноску на стр. 106) tg-~- = e к .
h Y--
Если мало, т. е. если параллельные близки, то tg -i- = е ' b^a 90°. Таким
образом, на малых расстояниях параллельные на плоскости Лобачевского мало отличаются от эвклидовых. § 4. Реальный смысл геометрии Лобачевского
109
С другой стороны, для астрономических масштабов отношение
могло бы оказаться уже не слишком малым.
Поэтому Лобачевский и допускал, что, хотя в обычных масштабах геометрия Эвклида и верна с большой точностью, отклонения от нее можно будет заметить посредством астрономических наблюдений. Как уже было сказано, само это допущение оправдалось, но те незначительные отклонения от эвклидовой геометрии, которые обнаружены теперь в астрономических масштабах, оказываются еще более сложными.
Наконец, из приведенных рассуждений следует еще другой важный вывод. Именно: раз отклонения от эвклидовой геометрии тем меньше, чем больше постоянная к, то в пределе, при неограниченном увеличении ее, геометрия Лобачевского переходит в геометрию Эвклида. To-есть геометрия Эвклида есть не более как предельный случай геометрии Лобачевского. Поэтому если к геометрии Лобачевского присоединить и этот ее предельный случай, то она охватит также геометрию Эвклида, оказываясь в этом смысле более общей теорией. Соответственно этому Лобачевский называл свою теорию «пангеометрией», т. е. общей геометрией. Такое соотношение теорий постоянно обнаруживается в развитии математики и естествознания: новая теория включает старую как предельный случай, соответственно движению познания от более частных выводов к более общим.
Однако все приведенные рассуждения и выводы оставались как бы мало понятной игрой ума, если бы не был установлен сравнительно простой реальный смысл геометрии Лобачевского в системе уже привычных понятий эвклидовой геометрии. Решение этой задачи не было доведено до конца самим Лобачевским; оно осталось на долю его последователей и было получено почти 40 лет спустя после выхода в свет первой его работы В чем состоит это решение, мы расскажем в следующем параграфе.
§ 4. РЕАЛЬНЫЙ СМЫСЛ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО
І. Наглядное истолкование геометрии Лобачевского было получено впервые в 1868 г., когда итальянский геометр Бельтрами заметил, что внутренняя геометрия на некоторой поверхности — псевдосфере — совпадает с геометрией на куске плоскости Лобачевского. Напомним, что под внутренней геометрией поверхности понимают ту совокупность свойств фигур на ней, которые определяются только лишь измерением длин на самой поверхности. На рис. 10 слева изображена так называемая трактриса. Это кривая, обладающая тем свойством, что длина отрезка ее касательной от точки касания до пересечения с осью Oy для всех точек кривой постоянна. Ось Oy ее асимптота. Вращая трактрису 110
Глава XVII. Абстрактные пространства
вокруг ее асимптоты, мы получаем изображенную на рис. 10 справа поверхность, которая и называется псевдосферой.
Истолкование геометрии Лобачевского по Бельтрами сводится к тому, что все геометрические соотношения на куске плоскости Лобачевского совпадают с геометрическими соотношениями на подходящем куске псевдосферы, если принять следующие условия. Роль прямолинейных отрезков играют кратчайшие линии на поверхности — геодезические. Расстояние между точками определяется как длина наиболее
короткой линии, соединяющей их на поверхности. Фигуры считаются равными, если можно так сопоставить их точки, что внутренние расстояния между соответственными точками будут равны. Перемещение фигур на псевдосфере, сохраняющее их размеры с точки зрения внутренней геометрии, хотя и сопровождается изгибанием, изображает движение в плоскости Лобачевского. Длины, углы и площади измеряются на поверхности, как обычно и отвечают длинам, углам и площадям в геометрии Лобачевского.
Истолкование Бельтрами показывает, что при этих условиях, каждому утверждению геометрии Лобачевского, относящемуся к куску плоскости, отвечает непосредственный факт внутренней геометрии псевдосферы. Геометрия Лобачевского имеет стало быть совершенно реальный смысл: опа есть не что иное, как абстрактно изложенная геометрия на псевдосфере.
