Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, мы доказали, что угол параллельности убывает по мере удаления точки С от прямой а. Но оказывается, можно доказать и более того: если точку С удалять в бесконечность, то этот угол стремится к нулю. То -есть на сколь угодно большом расстоянии от прямой а параллель к ней
Рис. 8.
Рис. 9.
образует с перпендикуляром к этой прямой сколь угодно малый угол Иначе говоря, если очень далеко от прямой а отклониться от перпендикуляра к ней на очень малый угол, то мы вовсе не пересечем прямую а, идя по «отклонившейся» прямой. Этот факт геометрии Лобачевского также производит удивительное впечатление. Но дальше можно получить и другие, не менее удивительные результаты.
Например, возьмем острый угол а, образуемый полупрямыми а ж а'. Проведем перпендикуляр b к а настолько далеко от вершины О угла а, чтобы угол параллельности, соответствующий взятому расстоянию OB (рис. 8), был меньше а. Раз угол а больше угла параллельности, то прямая Ь', проведенная из О параллельно Ь, образует с а меньший угол. Но она не пересекает прямую Ь. Следовательно, а' тем более ее не пересекает. Этим доказано, что перпендикуляр к стороне острого угла, проведенный достаточно далеко от вершины, не пересекает другую сторону.
5. Мы привели все предыдущие выводы с двоякой целью. Во-первых, и это главное, мы хотели показать на самых простых примерах, как фактически можно получать теоремы геометрии Лобачевского, исходя из принятых предпосылок. Это служит простейшим примером того, как вообще математики получают выводы в абстрактной геометрии, как вообще можно получить такие выводы, не связанные с привычными наглядными
1 Если h — длина перпендикуляра, у — угол параллельности, то, как показал Лоба-h
чевский, tg = е * , где к — постоянная, зависящая от единиц длины, а е —
__h_
известное основание натуральных логарифмов. Очевидно е ас ним и т стре-
мится к нулю при h ао. § 3. Геометрия Лобачевского
107
представлениями. Во-вторых, мы хотели показать, сколь своеобразные результаты получаются в геометрии Лобачевского. Приведем еще примеры.
Две прямые в плоскости Лобачевского либо пересекаются, либо параллельны в смысле Лобачевского, и тогда они в одну сторону асимптотически сближаются, а в другую — бесконечно расходятся, либо они имеют общий перпендикуляр и в обе стороны от него бесконечно расходятся.
Если прямые а, Ь имеют общий перпендикуляр (рис. 9), то к прямой а можно провести два перпендикуляра с, d, параллельные (в смысле Лобачевского) прямой Ь, вся прямая Ь лежит в полосе между прямыми с, d.
Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а некоторая кривая, называемая предельной окружностью. Через три точки, не лежащие на одной прямой, не всегда можно провести окружность, а либо окружность, либо предельную окружность, либо эквидистанту (т. е. линию, образованную точками, равноудаленными от некоторой прямой).
Сумма углов треугольника всегда меньше двух прямых. Если треугольник увеличивается так, что все три его высоты неограниченно возрастают, то все три его угла стремятся к нулю.
Не существует треугольников сколь угодно большой площади.
Два треугольника равны, если их углы равны.
Длина окружности I не пропорциональна радиусу г, а растет быстрее (в основном по показательному закону). Именно, имеет место формула
где к — постоянная, зависящая от единиц длины. Так как
-"^-i—J-H-HT)*-----
то из формулы (1) получаем:
' = 2*г(1 +{ж + -} (2>
И только при малых отношениях с достаточной точностью получается, что I = 2izr.
Все эти выводы являются логическими следствиями принятых предпосылок: «аксиомы Лобачевского» в соединении с основными положениями «употребительной» геометрии.
6. Чрезвычайно важное свойство геометрии Лобачевского заключается в том, что в достаточно малых областях она мало отличается от геометрии Эвклида; чем меньше область, тем это различие меньше. 108
Глава XVII. Абстрактные пространства
Так, для достаточно малых треугольников связь сторон и углов с достаточной точностью выражается формулами обычной тригонометрии и притом тем точнее, чем меньше треугольник.
Формула (2) показывает, что при малых радиусах длина окружности с хорошей точностью пропорциональна радиусу. Точно так же сумма углов треугольника мало отличается от двух прямых и т. п. В формулу для длины окружности входит постоянная к, зависящая
от единиц длины. Если радиус мал в сравнении с к, т. е. если — мало,
то, как видно из формулы (2), длина I близка к 2т:г. Вообще, чем меньше отношение размеров фигуры к этой постоянной, тем точнее свойства фигуры подходят к свойствам соответствующей фигуры в эвклидовой геометрии1.
Мерой отклонения свойств фигуры геометрии Лобачевского от
свойств фигуры эвклидовой геометрии служит отношение , если г
измеряет размеры фигуры (радиус окружности, стороны треугольника и т. п.).
Отсюда вытекает важный вывод.
Пусть мы имеем дело с реальным пространством и измеряем расстояние в километрах. Допустим, что постоянная к при этом очень велика, скажем равна IO12. •
