Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, как это уже было сказано, появление разных толкований геометрии служит одним из важных стимулов к уточнению ее основных положений. Исторически так и было: точная формулировка аксиом появилась позже моделей Бельтрами, Клейна и Пуанкаре.
1 «Правее» можно соответственно заменить на «левее». 120
Глава XVII. Абстрактные пространства
2. Теперь мы докажем, что в модели Клейна выполняются все перечисленные аксиомы, кроме эвклидовой аксиомы параллельности. Как уже было отмечено в предыдущем параграфе (рис. 11), здесь явно выполняется не она, а аксиома Лобачевского. Остается проверить аксиомы I—IV.
Плоскостью в модели служит внутренность круга (радиус его будем считать равным единице). Роль точек играют точки, роль прямых — хорды; понятия «точка лежит на прямой» и «точка лежит между двумя другими» понимаются в обычном смысле. Отсюда очевидно, что аксиомы сочетания, порядка и непрерывности выполняются. Так, например, третья аксиома порядка просто означает, что хорда делит круг на две части.
Остается проверить аксиомы движения. Движение определяется как преобразование, которое переводит круг сам в себя и прямые в прямые. Из этого определения очевидно, что эти преобразования удовлетворяют двум первым аксиомам движения: первой аксиоме — потому, что прямыми как раз считаются хорды и, стало быть, сохранение хорд означает сохранение прямых; второй аксиоме — потому, что если произвести два преобразования, переводящие круг в круг и хорды в хорды, то результирующее преобразование тем самым переведет круг в круг и хорды в хорды, т. е. будет одним из принятых за «движения».
Таким образом, остается лишь третья аксиома движения, и ее проверка представляет единственную имеющуюся здесь трудность.
Прежде всего заметим, что эта аксиома содержит два утверждения.
Пусть А, А' — две точки, а, а' — две исходящие из этих точек полупрямые, ос, ос'— две полуплоскости, ограниченные прямыми а, а.
Первое утверждение состоит в том, что существует движение переводящее А в А', а в а', а. в а.'.
Второе утверждение состоит в том, что такое движение только одно.
Можно было бы сослаться на то, что оба эти утверждения уже доказаны в главе III, § 14 (см. том 1), но мы предпочитаем привести здесь их доказательство, не связывая его,-как в главе III, с другими, более общими вопросами
Докажем для модели (т. е. в принятом понимании терминов «полупрямая», «полуплоскость», «движение») справедливость первого утверждения.
Допустим сначала, что точка А' лежит в центре круга. Выберем оси координат так, чтобы начало их лежало в центре круга, а ось Ox шла через точку А (рис. 14).
В предыдущем параграфе мы рассматривали преобразование
, ос + а , у ч/\ — а* /еч
X =¦ -і—Г- , У = -jV-T--• (6)
1 + ах ' " 1 + r.x v '
Там было доказано, что оно есть «движение» (т. е. переводит данный круг сам в себя и прямые — в прямые). § д. Аксиомы геометрии, их проверка для указанной, модели
121
Пусть X0 — абсцисса точки А, ордината ее у0 = 0. Поэтому, если мы возьмем а = — х0, то, согласно формулам (6), точка А перейдет в точку с координатами (0, 0), т. е. в точку А'.
Так как прямые переходят при этом в прямые, то «полупрямая» (т. е. отрезок хорды) а примет некоторое положение а" (рис. 14). Поворотом вокруг центра можро будет перевести теперь а" в а'. «Полуплоскостью» ос является один из сегментов, ограниченных «прямой» (хордой) а. Если он после движения совпадает с ос', то преобразование кончено; если же не совпадает, то переворотом (отражением в диаметре а') переведем его в полукруг ос'.
Таким образом, комбинируя «смещение» (6) с вращением и, если нужно, с отражением, мы перевели А, а, а в А', а', ос'. Но результирующее всех этих «движений» тоже будет «движением»; это «движение» и переводит А, а, а в А', а', а', т. е. существование требуемого движения доказано.
Пока мы ограничивались частным случаем, когда точка А', лежит в центре. Допустим теперь, что она занимает любое положение Тогда, согласно только что доказанному, мы сможем перевести ее в центр некоторым «движением», которое обозначим D1. При этом «полупрямая» а' перейдет в какую-то «полупрямую» а", идущую из центра, а «полуплоскость» а' —-в некоторую «полуплоскость» (полукруг) ос" (рис. 15).
Как уже доказано, мы можем посредством некоторого «движепия» D2 перевести и точку А в центр, «полупрямую» а — в а'', «полуплоскость» а — в а''. Наконец, «движением», обратным D1, мы переведем Л' на прежнее место и вместе с тем а", а" вернутся в исходные положения а',ос'.1
1 «Движение», обратное D1, изображается формулами (4) (§ 4), если D1 изображается формулами (3).
Рис. 14.
Рис 15. 122
Глава XVII. Абстрактные пространства
Таким образом, в результате комбинации «движения» D2 и «движения», обратного D1, мы переводим А, а, а в А', а', а'. Но комбинация «движений» есть снова «движение»; тем самым установлено, что существует движение, переводящее А, а, а в А', а', а' уже при любом положении точек А и А' в круге. Этим первое утверждение, заключенное в третьей аксиоме движения, доказано в полном объеме.
