Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
і Так писал Лобачевский в 1823 г. в своем курсе геометрии, который при его жизни не был, однако, опубликован. Этот курс «Геометрия» был впервые издан в 1910 г. 7 Зак. № 812 98
Глава XVII. Абстрактные пространства
противоположной аксиомы новую геометрию, логически столь же содержательную и совершенную, как эвклидова, несмотря на противоречие ее выводов наглядным представлениям о пространстве. Лобачевский фактически развил эту новую геометрию, которая теперь носит его имя. В этом заключался общий результат огромной важности: логически мыслима не одна геометрия. Значение этого вывода во всем его объеме мы еще выясним; в нем, собственно, уже содержится не малая доля решения тех вопросов об абстрактных математических пространствах, которые были поставлены в начале этой главы.
Но вернемся к приведенному выше высказыванию Лобачевского. Он говорит, что геометрическую истину, подобно другим физическим законам, могут проверить лишь опыты. Это значит, во-первых, что под истиной нужно понимать соответствие отвлеченных понятий реальной действительности. Это соответствие может установить только опыт, и, следовательно, для проверки истинности тех или иных выводов нужны опытные исследования, одних же логических умозаключений для этого недостаточно. Хотя эвклидова геометрия отражает реальные свойства пространства очень точно, нельзя быть уверенным, что дальнейшие исследования не обнаружат только приближенную правильность эвклидовой геометрии как учения о свойствах реального пространства. Тогда геометрия как учение о реальном пространстве (а не как логическая система) потребует изменения и уточнения в согласии с новыми опытными данными.
Эта гениальная мысль Лобачевского нашла полное подтверждение в новом развитии физики — в теории относительности.
Сам Лобачевский предпринял вычисления на основе астрономических наблюдений, с тем чтобы проверить точность эвклидовой геометрии. Эти вычисления подтвердили тогда ее правильность в пределах доступной точности. Теперь положение изменилось, хотя нужно сразу оговорить, что и геометрия Лобачевского не оказалась более точной в применении к пространству, его свойства оказались другими, более сложными. Но еще раньше геометрия Лобачевского нашла свое обоснование и применение в другой связи, о чем мы будем подробно говорить дальше.
Нужно подчеркнуть, что Лобачевский вовсе не рассматривал свою геометрию просто как логическую схему, построенную на произвольно принятых предположениях. Главную задачу он видел не в логическом анализе оснований геометрии, а в исследовании их отношения к действительности. Поскольку опыт не может дать абсолютно точного решения вопроса о верности эвклидова постулата, постольку имеет смысл исследование тех логических возможностей, которые представляются более основными предпосылками геометрии. Это математическое исследование поможет наметить те пути, по которым должно идти физическое изучение свойств реального пространства. Тем более, что геометрия Эвклида есть предельный случай геометрии Лобачевского, и потому эта последняя включает более широкие возможности. С этой точки зрения ограничение § 3. Геометрия Лобачевского
99
постулатом Эвклида было бы запретом для развития теории. Теория должна выходить за пределы уже известного, чтобы искать и указывать пути к открытию новых фактов и законов. Глубокое понимание связи математики с действительностью позволяет выделить из разнообразия логических возможностей именно те, которые имеют наибольшее основание оказаться полезными в познании природы. Если бы геометры вслед за Лобачевским не развивали математического учения о возможных свойствах пространства, современная физика не имела бы тех математических средств, которые позволили формулировать и развить положения теории относительности.
.Итак, подведем итог того решения проблемы V постулата, которое дал Лобачевский.
1°. Постулат недоказуем.
2°. Присоединяя к основным положениям геометрии противоположную аксиому, можно развить логически совершенную и содержательную геометрию, отличную от эвклидовой.
3°. Правильность выводов той или иной логически мыслимой геометрии в применении к реальному пространству проверяется только опытом. Логически мыслимая геометрия должна разрабатываться не как произвольная логическая схема, а как теория, намечающая возможные пути и методы развития физических теорий.
Решение это совершенно отлично от того, что хотели получить геометры, пытавшиеся доказать эвклидов постулат. Оно настолько шло вразрез с установившимися представлениями, что не встретило понимания среди математиков. Оно было для них еще слишком новым и радикальным. Лобачевский как бы разрубил гордиев узел теории параллельных, а не распутал его, как то рассчитывали сделать другие.
2. Почти одновременно с Лобачевским недоказуемость V постулата и возможность неэвклидовой геометрии обнаружил венгерский геометр Янош Ббйаи (1802—1860), который опубликовал свои выводы в виде дополнения к вышедшему в 1832 г. геометрическому трактату своего отца Фаркаша Бойаи. Предварительно отец послал работу сына на отзыв Гауссу и получил похвальный ответ, где Гаусс сообщал, что уже давно сам пришел к тем же выводам. Однако от печатных выступлений Гаусс все же воздержался. В одном из писем он объясняет это тем, что боится быть непонятым.
