Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
dU{t)
dt
\a-mi {t)..
(О/
Нетрудно проверить, что для матриц справедливы некоторые элементарные формулы дифференцирования. Так
d (U+V) _ du і d\'
dt dt dt ">
d(cU) _cd.U
dt dt ' d(UV) _ dU T/ , T1 dV
dt —~df V ~dT '
(Умножать нужно строго в том порядке, какой дан в формуле!)
Система обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений
^r = яп (О У\ + «12 W Уі + • • • + «і» (*) У«> 4г = а2> (О У\ + а22 (0 Уг + • • • 4- а2» (О У
~af = а»1 (О Уі + а«2 (0 Уг + • • • + апп (0 Уп
в этих обозначениях может быть записана в виде 92
Глава XVI. Линейная алгебра
где
(Уі\ /«и (О---eI-Wv
у= ; L 4(0=1......,
\УпJ \ On (t). ..апя(t)J
т. е. в форме, аналогичной одному линейному однородному дифференциальному уравнению.
Если коэффициенты системы постоянные, т. е. матрица А постоянная, то и решение системы внешне выглядит так же, как решение уравнения у' = ау. Именно, в этом случае Y = eAtC, где С — столбец из произвольных постоянных.
Решение в этой форме очень удобно для исследования. Дело в том, что для любой аналитической функции /(г) имеет место равенство
/(B-1LB) = B-1JiL) В.
Так как любую матрицу можно привести к канонической форме Жордана (см. § 4), то вычисление функции от любой матрицы сводится к вычислению функции от канонической матрицы, что легко осуществить. Поэтому если A = B-1LB, где L — каноническая матрица, то
У = емС = B-1CuBC = B-1CltC',
где С' = ВС — столбец из произвольных постоянных.
Из этой формулы нетрудно получить явное выражение для всех составляющих искомого столбца У.
Советский ученый И. А. Лаппо-Данилевский с успехом развил аппарат теории функций от матриц и впервые применил его к исследованию систем также и с переменными коэффициентами. Его результаты принадлежат к числу наиболее блестящих достижений математики за последние пятьдесят лет.
ЛИТЕРАТУРА
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. Гостехиздат, 1953.
Монография, содержащая богатый материал по приложениям линейной алгебры. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. Гостехиздат, 1951.
Содержит геометрическое изложение линейной алгебры с выходом в функциональный анализ. К у р о ш А. Г. Курс высшей алгебры. Гостехиздат, 1952. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. Изд. 2, Гостехиздат, 1956. О к у н е в Л. Я. Высшая алгебра. Гостехиздат, 1949. Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. III. Гостехиздат, 1953. Ф аддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Гостехиздат, 1950. Излагаются методы численного решения основных задач линейной алгебры. Глава XVII АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
С тех пор как Н. И. Лобачевский впервые показал возможность неэвклидовой геометрии и выдвинул новое представление об отношении геометрии к материальной действительности, предмет геометрии, ее методы и применения чрезвычайно расширились. Теперь математики изучают разные «пространства»: наряду с эвклидовым пространством рассматривается пространство Лобачевского, проективное пространство, различные л-мерные и даже бесконечномерные пространства, римановы, топологические и другие пространства; число таких пространств неограничено, и каждое из них имеет свои свойства, свою «геометрию». В физике используют понятия о так называемых фазовых и конфигурационных «пространствах»; теория относительности применяет представление о кривизне пространства и другие выводы абстрактных геометрических теорий.
Как и откуда возникли эти математические абстракции? Какое реальное основание, какое реальное значение и применение они имеют? Каково их отношение к действительности? Как они определяются и как их рассматривают в математике? Какое значение в математике имеют общие идеи современной геометрии?
На эти вопросы должна ответить настоящая глава. В ней не будут излагаться сами теории абстрактных математических пространств; это требовало бы гораздо большего объема изложения и гораздо большего обращения к специальному математическому аппарату. Задача состоит в том, чтобы выяснить сущность новых идей геометрии, т. е. ответить на поставленные вопросы, а это можно сделать без сложных доказательств и формул.
История вопроса восходит истоками к «Началам» Эвклида, к аксиоме или, как говорят еще, к постулату о параллельных линиях.
§ 1. история постулата эвклида
В своих «Началах» Эвклид формулировал основные предпосылки геометрии в виде так называемых постулатов и аксиом. Среди них содержался V постулат (в других списках «Начал» — XI аксиома), который теперь формулируют обычно следующим образом: «Через точку, не лежа- 94
Глава XVII. Абстрактные пространства
щую на данной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной данной». Напомним, что прямая называется параллельной данной прямой, если обе прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, причем, говоря так, имеют в виду бесконечные прямые, а не конечные их отрезки.
Легко доказать, что через точку А, не лежащую на данной прямой а, всегда можно провести хотя бы одну прямую, параллельную данной.
Действительно, опустим из точки А перпендикуляр b на прямую а и проведем через А прямую с перпендикулярно Ъ (рис. 1). Полученная фигура будет вполне симметрична относительно линии Ь, так как углы, образуемые прямой b по обе ее стороны с прямыми а и с, равны. Поэтому,
