Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
перегибая плоскость по линии Ь,
с й
--.-„- мы приведем половины прямых а
и с в совпадение. Отсюда видно, Ь что если бы а и с пересекались с
одной стороны от AB, то они
о__ должны были бы пересекаться
в также с другой стороны. Выхо-
Рис- дило бы, что прямые а и с имеют
две общие точки, а это невозможно, так как по основному свойству прямой через две точки может проходить только одна прямая (так что прямые, имеющие две общие точки, необходимо должны совпадать).
Итак, из основных свойств прямой и движения фигур (поскольку перегибание по линии AB есть вращение полуплоскости вокруг этой линии) следует, что хотя бы одна параллель к данной прямой всегда проходит через данную точку. Постулат же Эвклида дополняет этот вывод утверждением, что такая параллель только одна, никакой другой быть не может.
Среди других постулатов (аксиом) геометрии этот постулат занимает несколько особое место. У самого Эвклида он формулировался довольно сложно, но даже в приведенной выше обычной его форме он содержит известную трудность. Эта трудность заключается уже в самом понятии параллельных прямых: здесь речь идет о всей прямой. Но как убедиться,, что данные прямые параллельны? Для этого нужно как бы пройти их в обе стороны «до бесконечности» и убедиться, что они нигде на всем бесконечном протяжении не пересекаются. Ясно, что такое представление имеет свою трудность. Все это, повидимому, и послужило причиной тогог что постулат о параллельных занял уже у самого Эвклида несколько особое положение: в его «Началах» этот постулат применяется только начиная с 29-го предложения, в то время как в первых 28 предложениях Эвклид обходился без него. Ввиду сложности постулата желание обойтись без него могло возникнуть довольно естественно, и поэтому еще в древности появились попытки изменить определение параллельных линий, изме- § 1. История постулата Эвклида
95
нить самую формулировку постулата или, что было бы лучше всего, вывести его как теорему из других аксиом и основных понятий геометрии.
Так, теория параллельных линий, основанная на V постулате, стала предметом комментирования и разработки в трудах многих геометров, начиная с древности. В цепи этих исследований главной задачей было вовсе избавиться от V постулата, выведя его как теорему из других основных положений геометрии.
Этой задачей занимались многие геометры: грек Прокл (V в. н. э.), комментировавший Эвклида, иранец Насирэддин Туси (XIII в.), англичанин Валлис (1616—1703), итальянец Саккери (1667—1733), немецкий философ и математик Ламберт (1728—1777), француз Лежандр (1752— 1833) и многие другие; все они на протяжении более чем двух тысяч лет, прошедших со времени появления эвклидовых «Начал», изощрялись в тонкости и геометрическом остроумии, пытаясь доказать V постулат.
Однако результат этих попыток неизменно оставался отрицательным. Каждый раз выяснялось, что автор того или иного доказательства фактически опирался на какое-нибудь предположение, может быть, и очевидное, но вовсе не вытекающее с логической необходимостью из других предпосылок геометрии. Иными словами, дело сводилось каждый раз к замене V постулата другим утверждением, из которого этот постулат действительно вытекал, но которое само требовало доказательства 1.
Глубже других в задачу проникли Саккери а Ламберт. Саккери первый попытался доказать V постулат от противного, т. е. он принял за исходное противоположное утверждение и, развивая из него следствия, надеялся придти к противоречию. Дойдя в этих выводах до результатов, казавшихся совершенно невообразимыми, он подумал, что решил задачу. Но ошибся, потому что противоречие с наглядным представлением не означает еще логического противоречия. Задача ведь состояла в логическом доказательстве эвклидова постулата на основе других положений геометрии, а не в том, чтобы еще раз убедиться в его наглядной верности. Этот постулат и сам по себе наглядно достаточно убедителен. Но, повторяем, наглядная убедительность и логическая необходимость вещи различные.
Ламберт оказался более глубоким мыслителем, чем Саккери и его предшественники. Идя по тому же пути, он не нашел логического противоречия и не допустил ошибки других; он не заявил, будто доказал
1 Таких утверждений, равносильных V постулату, было установлено много. Вот некоторые примеры: 1) прямая, параллельная данной, проходит от нее на постоянном расстоянии (Прокл); 2) существуют подобные (но не равные) треугольники, т. е. такие, углы которых равны, но стороны не равны (Валлис); 3) существует хотя бы один прямоугольник, т. е. такой четырехугольник, все углы которого прямые (Саккери); 4) прямая, перпендикулярная одной стороне острого угла, пересекает также другую его сторону (Лежандр); 5) сумма угяов треугольника равна двум прямым (Лежандр); 6) существуют треугольники сколь угодно большой площади (Гаусс). Этот список теперь мы могли бы продолжать до бесконечности. 96
Глава XVII. Абстрактные пространства
V постулат. Но и после него еще в начале XIX в. Лежандр снова «доказывает» V постулат, впадая в старую ошибку: постулат он опять-таки заменяет другими утверждениями, которые сами требуют доказательства.
