Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1
квадратичной форме у (г/г2 -j- 2skk-^-tk2), где г, s и t — значения вто-
02w (ftw д-w , , і,
рых производных -0- , , -щГ . вычисленные в точке (?, уй). Ьсли
эта квадратичная форма положительна при всех значениях h и к (кроме h = k = 0), то функция w имеет минимум н точке (?, у0)\ если отрицательна, то — максимум. Наконец, если форма принимает и положительные и отрицательные значения, то не будет ни максимума, ни минимума. Аналогичным образом исследуются и функции от большего числа переменных.
Изучение квадратичных форм в основном заключается в исследовании проблемы эквивалентности форм относительно той или другой совокупности линейных преобразований переменных. Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них может быть переведена в другую посредством одного из преобразований данной совокупности. С проблемой эквивалентности тесно связана проблема приведения формы, т. е. преобразования ее к некоторому возможно простейшему виду.
В различных вопросах, связанных с квадратичными формами, рассматриваются и различные совокупности допустимых преобразований переменных.
Iv* 84
Глава XVI. Линейная алгебра
В вопросах анализа применяются любые неособенные преобразования переменных; для целей аналитической геометрии наибольший интерес представляют ортогональные преобразования, т. е. те, которым соответствует переход от одной системы переменных декартовых координат к другой. Наконец, в теории чисел и в кристаллографии рассматриваются линейные преобразования с целыми коэффициентами и с определителем, равным единице.
Мы рассмотрим из этих задач две: вопрос о приведении квадратичной формы к- простейшему виду посредством любых неособенных преобразований и тот же вопрос для преобразований ортогональных. Прежде всего выясним, как преобразуется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании переменных.
Пусть f(X11X2, ...,х„) = XAX1 где А — симметричная матрица из коэффициентов формы, X — столбец из переменных.
Сделаем линейное преобразование переменных, записав его сокращенно X = CX'. Здесь С обозначает матрицу коэффициентов этого преобразования, X' — столбец из новых переменных. Тогда X = X1C, и, следовательно, XAX = X' (CAC) X', так что матрицей преобразованной квадратичной формы является С АС.
Матрица CAC автоматически оказывается симметричной, что легко проверяется. Таким образом, задача о приведении квадратичной формы к простейшему виду равносильна задаче о приведении к простейшему виду симметричной матрицы посредством умножения ее слева и справа на взаимно транспонированные матрицы.
Преобразование квадратичной формы к каноническому виду посредством последовательного выделения квадратов. Установим, что любая (действительная) квадратичная форма может быть приведена к сумме квадратов новых переменных с некоторыми коэффициентами посредством действительного неособенного линейного преобразования.
Для доказательства установим прежде всего, что если форма не равна нулю тождественно, то за счет неособенного преобразования переменных можно сделать коэффициент при квадрате первой переменной отличным от нуля.
В самом деле, пусть
/(aV^2.....хп) = + апхгх2 + • • • + «i«*A +
+ Wl + a22Xl + . • • + +
-4-а ,X X7 -4-а „ж. ха 4- ... 4-а х3.
І ИІ и 1 I «2 я 2 I I ни и"
Еели ап=^=0, то никаких преобразований не требуется. Если ап=0, но какой-либо из диагональных коэффициентов акк=^ 0, то положим X1 = х'к^ ICfc = ICji приравнивая остальные исходные переменные соответ- § 5. Квадратичные формы
85
ствующим новым. Это неособенное преобразование приведет к цели. Наконец, если все диагональные коэффициенты равны нулю, то хотя бы один недиагональный коэффициент, например а12, отличен от нуля. Сделав неособенное преобразование
X1 = X1, Х2 ~ Х1 Х2
и приравняв остальные исходные переменные к новым, мы достигаем цели.
Таким образом, без нарушения общности можно принять ап=^=0. Выделим теперь квадрат линейной функции так, чтобы все слагаемые, содержащие X1, вошли в этот квадрат. Это легко сделать. Действительно,
/ (X1, х2, ...,хя)= апхI + O12X1X2 + ... + GlnX1Xn + + а21Х2Х1 й22Х2 • • • 4" й2пХ2Хп
—I— а X х. —I— а ах х„ -J- ... 4-а X2 = І ні її 1 I к2 и 2 I I »и и
Z11 (ж, + ^2+ • - - + x^all (-^x2+ ... + хв)2+ + а22Ж2+ + ««А*» +
+ VA+---+V»-
Раскрыв скобки во втором слагаемом и сделав приведение подобных членов, получим
/(X11X2, .. ., х„) = ап ^x1 + x2~h • • • "Ь/і(Х2> •' • > хп)>
где Z1 есть форма уже от п — 1 переменных. Преобразование
і ' в1и-х =X.'.
^1+-?"?+.-- +
а її
х2-Ж21
X =X .
и Wl
очевидно, неособенное. Сделав это преобразование, приведем форму к виду
«и»?+А К.....о. 86
Глава XVI. Линейная алгебра
Продолжая процесс аналогичным образом, мы приведем форму к требуемому «каноническому» виду
Здесь Z1, Zi, . . . , Zu — последние из введенных новых переменных.
Закон инерции квадратичных форм. При приведении квадратичной •формы к каноническому виду имеется весьма значительный произвол в выборе осуществляющего это приведение преобразования переменных. Этот произвол виден хотя бы из того, что имеется возможность раньше, чем применить изложенный выше способ последовательного выделения квадратов, сделать любое неособенное преобразование переменных.
