Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Введем следующее определение.
Ненулевой вектор X, переходящий при линейном преобразовании А пространства в коллинеарный вектор IX, называется собственным вектором преобразования. Иными словами, ненулевой вектор X есть собственный вектор преобразования А в том и только в том случае, если АХ = ~кХ. Число же X называется собственным значением преобразования А.
Очевидно, что если преобразование имеет в каком-либо базисе диагональную матрицу, то этот базис состоит из собственных векторов, а сами диагональные элементы являются собственными значениями. Обратно, если в пространстве существует базис, состоящий и» собственных векторов преобразования А, то в этом базисе матрица преобразования А будет диагональной и составленной из собственных значений, соответствующих векторам базиса. § 4. Линейные преобразования
79
Перейдем к изучению свойств собственных векторов и собственных значений. С этой целью перейдем к координатной записи в определении собственного вектора. Пусть. А есть матрица, соответствующая преобразованию А относительно некоторого- базиса, X — столбец из координат вектора X в том же базисе. Равенство АХ=~кХ при переходе к координатам запишется как AX = XX или
(А — 1Е)Х = 0.
Г] развернутой форме это равенство превращается в систему (ап — xI + а12ж2 4- • • • + aIA = 0.
а21Ж1 + (а22-Х2 + • • • + аЪ,хп = 0.
CtliIX1 + CLnZX2 -f ... -f - (апн — X) х„ = 0.
Эту систему равенств можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно Xv х2, ...,хп. Нас интересует случай, когда эта система имеет нетривиальное решение, ибо координаты собственного вектора не должны равняться нулю одновременно. Мы знаем, что необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения системы линейных однородных уравнений является требование, чтобы ранг матрицы из коэффициентов был меньше числа неизвестных, а это равносильно тому, что определитель системы равен нулю
an — X a12 . .. ab,
a21 ®22-X . . . &2н _Q
j Ялі 0.,,2 . . . CLnn--X
Таким образом, все собственные числа преобразования А являются корнями многочлена | А—XZ? | и, обратно, каждый корень этого многочлена является собственным значением преобразования, так как каждому корню соответствует по крайней мере один собственный вектор. Многочлен I А — iE I называется характеристическим многочленом матрицы А. Уравнение же | А—Xii1I = O называется характеристическим или вековым уравнением матрицы А, а его корни — характеристическими числами матрицы1.
По основной теореме высшей алгебры (глава IV, том 1) каждый многочлен имеет по крайней мере один корень, следовательно, каждое ливейное преобразование имеет по крайней мере одно собственное число и, следовательно, но крайней мере один собственный вектор. Но, конечно, при этом возможно, что, даже в случае, если преобразование описывается действительной матрицей, может оказаться, что все или
1 Название «неновое уравнение» возникло н небесной механике в связи с задачей о так называемых вековых возмущениях в движении планет. 80
Глава XVI. Линейная алгебра
часть его собственных чисел комплексны. И на самом деле, в действительном пространстве теорема о существовании (действительных) собственных чисел и собственных векторов для любого линейного преобразования оказывается неверной. Например, преобразование плоскости, заключающееся в повороте вокруг начала координат на некоторый угол, отличный от 180°, изменяет направления всех векторов плоскости, так что собственных векторов для этого преобразования не существует.
Корни характеристического многочлена матрицы А являются собственными числами преобразования А, и, следовательно, матрицы, отвечающие одному и тому же преобразованию в различных базисах, обладают одинаковыми совокупностями корней характеристического многочлена. Это делает правдоподобным предположение, что и сам характеристический многочлен линейного преобразования зависит только от преобразования, но не от выбора базиса. Это проверяется следующей изящной выкладкой, основанной на свойствах действий над матрицами и определителями.
Мы знаем, что если матрица А соответствует преобразованию А в некотором базисе, то в каком-либо другом базисе преобразование А имеет подобную матрицу C-1AC, где С — некоторая неособенная матрица. Но
IC-1AC-IE | = [C-1AC — C-1IEC | = | С~г (А — IE) С | =
= IC-1II С Il А —XfiiI = I C-1C Il А — Xfi1I =| Л — XiJ I.
Таким образом, матрицы, соответствующие одному и тому же преобразованию А в различных базисах, действительно имеют один и тот же характеристический многочлен, который может быть поэтому назван характеристическим многочленом преобразования.
Сделаем теперь предположение, что все собственные числа преобразования А различны. Докажем, что собственные векторы, взятые по одному для каждого собственного числа, линейно-независимы. Действительно, если допустить, что некоторые из них, именно ev ...,ек, линейно-независимы, а остальные, в том числе и ек+1, являются их линейными комбинациями, то
ек+] = c1 е, + c2^2 + ... jTCtel. (13)
