Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Применив к обеим частям равенства линейное преобразование, получим
Aek+i = C1Ae1 + C2Ae2 + ... +скАек, откуда, в силу определения собственного вектора, следует, что
Ф§ 4. Линейные преобразования
81
Умножив равенство (13) на Vi и вычтя из него вновь полученное равенство, будем иметь
Ci (V, —Л) + с2 (Vi — X2) е2 -f ... -f с* (Vi — 1к)ек = 0.
Отсюда следует, в силу линейной независимости ev ег, ..., ек, что
ci (Vi — ^i) -- с2 (Vi — ^2) = • • • = cJt P-t+i — V = 0.
Но мы предположили, что все собственные числа различны и векторы взяты по одному для каждого собственного числа. Следовательно, Vi — Vi — - • •> Vi — ^itv6O. и равенство (13) неосуще-
ствимо, так как коэффициенты C1, с2, ..., ск не могут одновременно равняться нулю.
Теперь ясно, что если все собственные числа линейного преобразования различны, то существует базис, в котором матрица преобразования имеет диагональный вид. Действительно, за такой базис можно взять систему собственных векторов, взятых по одному для каждого собственного числа. Как мы доказали, они линейно-независимы, и их число равно числу измерений пространства, т. е. они действительно образуют базис.
Доказанная теорема в терминах теории матриц формулируется так. Если все собственные числа матрицы различны, то матрица подобна диагональной, диагональными элементами которой являются эти собственные числа.
Вопрос о преобразовании матрицы линейного преобразования к простейшему виду, в случае если среди корней характеристического многочлена имеются равные, значительно сложнее. Ограничимся кратким описанием окончательного результата.
«Каноническим ящиком» порядка m называется матрица вида
\ 1 \
Ъ 1
1 , =
\ /
Все необозначенные элементы равны нулю.
Канонической матрицей Жордана называется матрица, вдоль главной диагонали которой расположены «канонические ящики», а все остальные элементы равны нулю:
I J- т..
"Ь, \
\
mfo Ц
6 Зак. Mk 81282
Глава XVI. Линейная алгебра
Числа Ii в различных «ящиках» не обязаны быть попарно различными. Любая матрица может быть приведена к подобной ей канонической матрице Жордана. Доказательство этой теоремы довольно сложно. Необходимо заметить, что эта теорема играет большую роль во многих приложениях алгебры к другим вопросам математики, в частности в теории систем линейных дифференциальных уравнений.
Матрица приводится к диагональной форме в том и только в том случае, если порядки т{ всех ящиков равны единице.
Определение и простейшие свойства. Квадратичной формой называется однородный многочлен 2-й степени от нескольких переменных.
Квадратичная форма от п переменных X1, х2, ..., х„ состоит из слагаемых двух типов: квадратов переменных и их попарных произведений с некоторыми коэффициентами. Квадратичную форму принято записывать в виде следующей квадратной схемы:
Пары подобных членов а12хгх2 и O21X2X1 и т. д. записываются с одинаковыми коэффициентами, так что каждый из них составляет половину коэффициента при соответствующем произведении переменных. Таким образом, каждая квадратичная форма естественным образом связывается с матрицей ее коэффициентов, которая является симметричной.
Квадратичную форму удобно представлять и в следующей матричной записи. Обозначим через X столбец из переменных xvx2,...,xn, через X — строку (хл, х2, ...,х„), т. е. матрицу, транспонированную с X. Тогда
f(xv
х2, . . . , Xn) = X1 (OnX1 4- O12X2 4-...4- аЬ1хп) 4-
4" Х2 (a2lXl + а22Х2 4-"-4- а2»Х») + • ¦ • + Х» KlZ, 4- a„2X2 4-...4- а„пХп) =
§ 5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
f(Xv х2, Xn) = O11X214-G12X1X24-...4-аъХ1Хп +
+ (I21X2X1 4- 4-...4- O2iX2Xn +
4- a , X хл 4- а „X х, 4- ... 4- а Xі.
! «1 п 1 ' »2 J/ 2 1 ! Mi п *
(X1, X2, . . . , Xn
і
O11X1 4- O12X2 4-...4- 0\пХ а21Х1 "І" а22Х2 4- • • • + а2пх
.0.1®! 4~ (1>12Х2 4- • • • + аппХ1
§ 5. Квадратичные формы
83
Квадратичные формы встречаются во многих разделах математики и ее приложений.
В теории чисел и кристаллографии рассматриваются квадратичные формы в предположении, что переменные X1, х2, ..., хп принимают только целочисленные значения. В аналитической геометрии квадратичная форма входит в состав уравнения кривой (или поверхности) 2-го порядка. В механике и физике квадратичная форма появляется для выражения кинетической энергии системы через компоненты обобщенных скоростей и т. д. Но, кроме того, изучение квадратичных форм необходимо и в анализе при изучении функций от многих переменных, в вопросах, для решения которых важно выяснить, как данная функция в окрестности данной точки отклоняется от приближающей ее линейной функции. Примером задачи этого типа является исследование функции на максимум и минимум.
Рассмотрим, например, задачу об исследовании на максимум и минимум для функции от двух переменных w = f(x, у), имеющей непрерывные частные производные до 3-го порядка. Необходимым условием для того, чтобы точка (X0, у0) давала максимум или минимум функции и;, является равенство нулю частных производных 1-го порядка в точке (хй, у0). Допустим, что это условие выполнено. Придадим переменным X и у малые приращения h и к и рассмотрим соответствующее приращение функции Дw = / (х0 4- h, уй +к) — / (я0, у0). Согласно формуле Тейлора это приращение с точностью до малых высших порядков равно