Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 33

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 145 >> Следующая


Применив к обеим частям равенства линейное преобразование, получим

Aek+i = C1Ae1 + C2Ae2 + ... +скАек, откуда, в силу определения собственного вектора, следует, что

Ф § 4. Линейные преобразования

81

Умножив равенство (13) на Vi и вычтя из него вновь полученное равенство, будем иметь

Ci (V, —Л) + с2 (Vi — X2) е2 -f ... -f с* (Vi — 1к)ек = 0.

Отсюда следует, в силу линейной независимости ev ег, ..., ек, что

ci (Vi — ^i) -- с2 (Vi — ^2) = • • • = cJt P-t+i — V = 0.

Но мы предположили, что все собственные числа различны и векторы взяты по одному для каждого собственного числа. Следовательно, Vi — Vi — - • •> Vi — ^itv6O. и равенство (13) неосуще-

ствимо, так как коэффициенты C1, с2, ..., ск не могут одновременно равняться нулю.

Теперь ясно, что если все собственные числа линейного преобразования различны, то существует базис, в котором матрица преобразования имеет диагональный вид. Действительно, за такой базис можно взять систему собственных векторов, взятых по одному для каждого собственного числа. Как мы доказали, они линейно-независимы, и их число равно числу измерений пространства, т. е. они действительно образуют базис.

Доказанная теорема в терминах теории матриц формулируется так. Если все собственные числа матрицы различны, то матрица подобна диагональной, диагональными элементами которой являются эти собственные числа.

Вопрос о преобразовании матрицы линейного преобразования к простейшему виду, в случае если среди корней характеристического многочлена имеются равные, значительно сложнее. Ограничимся кратким описанием окончательного результата.

«Каноническим ящиком» порядка m называется матрица вида

\ 1 \

Ъ 1

1 , =

\ /

Все необозначенные элементы равны нулю.

Канонической матрицей Жордана называется матрица, вдоль главной диагонали которой расположены «канонические ящики», а все остальные элементы равны нулю:

I J- т..

"Ь, \

\

mfo Ц

6 Зак. Mk 812 82

Глава XVI. Линейная алгебра

Числа Ii в различных «ящиках» не обязаны быть попарно различными. Любая матрица может быть приведена к подобной ей канонической матрице Жордана. Доказательство этой теоремы довольно сложно. Необходимо заметить, что эта теорема играет большую роль во многих приложениях алгебры к другим вопросам математики, в частности в теории систем линейных дифференциальных уравнений.

Матрица приводится к диагональной форме в том и только в том случае, если порядки т{ всех ящиков равны единице.

Определение и простейшие свойства. Квадратичной формой называется однородный многочлен 2-й степени от нескольких переменных.

Квадратичная форма от п переменных X1, х2, ..., х„ состоит из слагаемых двух типов: квадратов переменных и их попарных произведений с некоторыми коэффициентами. Квадратичную форму принято записывать в виде следующей квадратной схемы:

Пары подобных членов а12хгх2 и O21X2X1 и т. д. записываются с одинаковыми коэффициентами, так что каждый из них составляет половину коэффициента при соответствующем произведении переменных. Таким образом, каждая квадратичная форма естественным образом связывается с матрицей ее коэффициентов, которая является симметричной.

Квадратичную форму удобно представлять и в следующей матричной записи. Обозначим через X столбец из переменных xvx2,...,xn, через X — строку (хл, х2, ...,х„), т. е. матрицу, транспонированную с X. Тогда

f(xv

х2, . . . , Xn) = X1 (OnX1 4- O12X2 4-...4- аЬ1хп) 4-

4" Х2 (a2lXl + а22Х2 4-"-4- а2»Х») + • ¦ • + Х» KlZ, 4- a„2X2 4-...4- а„пХп) =

§ 5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

f(Xv х2, Xn) = O11X214-G12X1X24-...4-аъХ1Хп +

+ (I21X2X1 4- 4-...4- O2iX2Xn +

4- a , X хл 4- а „X х, 4- ... 4- а Xі.

! «1 п 1 ' »2 J/ 2 1 ! Mi п *

(X1, X2, . . . , Xn

і

O11X1 4- O12X2 4-...4- 0\пХ а21Х1 "І" а22Х2 4- • • • + а2пх

.0.1®! 4~ (1>12Х2 4- • • • + аппХ1

§ 5. Квадратичные формы

83

Квадратичные формы встречаются во многих разделах математики и ее приложений.

В теории чисел и кристаллографии рассматриваются квадратичные формы в предположении, что переменные X1, х2, ..., хп принимают только целочисленные значения. В аналитической геометрии квадратичная форма входит в состав уравнения кривой (или поверхности) 2-го порядка. В механике и физике квадратичная форма появляется для выражения кинетической энергии системы через компоненты обобщенных скоростей и т. д. Но, кроме того, изучение квадратичных форм необходимо и в анализе при изучении функций от многих переменных, в вопросах, для решения которых важно выяснить, как данная функция в окрестности данной точки отклоняется от приближающей ее линейной функции. Примером задачи этого типа является исследование функции на максимум и минимум.

Рассмотрим, например, задачу об исследовании на максимум и минимум для функции от двух переменных w = f(x, у), имеющей непрерывные частные производные до 3-го порядка. Необходимым условием для того, чтобы точка (X0, у0) давала максимум или минимум функции и;, является равенство нулю частных производных 1-го порядка в точке (хй, у0). Допустим, что это условие выполнено. Придадим переменным X и у малые приращения h и к и рассмотрим соответствующее приращение функции Дw = / (х0 4- h, уй +к) — / (я0, у0). Согласно формуле Тейлора это приращение с точностью до малых высших порядков равно
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed