Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Однако, несмотря на этот произвол, в результате приведения данной формы получаются почти одинаковые канонические квадратичные формы независимо от выбора приводящего преобразования. Именно, число квадратов новых переменных, входящих с положительными, отрицательными и нулевыми коэффициентами, получается одним и тем же при любом способе приведения. Эта теорема носит название закона инерции квадратичных форм. На его доказательстве мы не будем останавливаться.
Закон инерции квадратичной формы решает задачу об эквивалентности действительной квадратичной формы относительно всех неособенных преобразований. Именно, две формы эквивалентны в том и только в том случае, если при приведении их к каноническому виду получаются канонические формы с одинаковым числом квадратов с положительными, отрицательными и нулевыми коэффициентами.
Особый интерес для приложений имеют квадратичные формы, которые после приведения к каноническому виду превращаются в сумму квадратов новых переменных со всеми положительными коэффициентами. Такие формы носят название положительно-определенных.
Положительно-определенные квадратичные формы характеризуются тем свойством, что все значения их при действительных значениях переменных, не равных одновременно нулю, положительны.
Ортогональное преобразование квадратичных форм к каноническому виду. Среди всевозможных способов приведения квадратичной формы к каноническому виду особый интерес представляют ортогональные преобразования, т. е. осуществляющиеся посредством линейного преобразования переменных с ортогональной матрицей. Именно такие преобразования представляют интерес, например, в аналитической геометрии— в задаче о приведении общего уравнения кривой или поверхности 2-го порядка к каноническому виду.
Для того, чтобы убедиться в возможности такого преобразования, целесообразно рассматривать квадратичную форму как функцию от вектора в эвклидовом пространстве, рассматривая переменные X1, Xi, .... х„ § 5. Квадратичные формы
87
как координаты переменного вектора относительно некоторого ортонор-мального базиса. Тогда ортогональное преобразование переменных интерпретируется как переход от одного ортонормального базиса к другому.
Свяжем с квадратичной формой
линейное преобразование A1 имеющее но отношению к выбранному
жет рассматриваться как скалярное произведение AX-X (где X—вектор с координатами X11X2, ...,хп), а ее коэффициенты а,-у — как скалярные произведения Aei ej, где ех, е2, ..., еп — выбранный ортонормальный базис.
Легко видеть, что вследствие симметрии матрицы А для любых векторов X и Y имеет место равенство
Докажем прежде всего, что преобразование А имеет по крайней мере одно действительное собственное число и соответствующий ему собственный вектор.
Для этого рассмотрим значения формы AX ¦ X в предположении, что вектор X пробегает одиничную' сферу, т. е. совокупность всех единичных векторов. При этих условиях форма AX-X будет иметь максимум. Покажем, что этот максимум л, есть собственное число преобразования А, а вектор X0, для которого этот максимум достигается, есть соответствующий собственный вектор, т. е. AX0 = I1X0.
Доказательство этого утверждения проведем косвенными средствами, установив, что вектор AX0 ортогонален ко всем векторам, ортогональным к X0.
Заметим, что для любого вектора Z справедливо неравенство
AZ-Z^\\Zf. Это очевидно из того, что X . есть единичный
I ^ I
вектор, a I1 — максимум значения формы AX-X на единичной сфере. Рассмотрим Z = X0 + гУ, где е — некоторое действительное число, Y — произвольный вектор, ортогональный к вектору X0. Тогда
AZ - Z = (AX0 + eAY) • (X0 + sY) = AX0 -X0 + 2еAX0- Y + s2AY- Y =
= A1 + 2s AX0 • Y -j- e?AY ¦ Y.
f (X1, X2,..., хн) = апх2 + ... + CibX1Xn +
-ffl.i г,4-... 4-а X2
> мі n 1 і і mi и
Тогда сама квадратичная форма мо-
AX Y = X AY. Кроме того,
ибо
|Z|8 = (jr0 + «y)- (Х0-ИУ) = |Х0|» + в»|У|* = 1 + в*|У|*, Х0-У = 0, |Х0|2^1.
Следовательно,
X1 + 2еЛХ0 • У + b2AY ¦ Y<Х, + S2X1 | У
12
откуда, поделив на є2, получим
2 , ж,
f ЛХ0.У<Х1|У|2-ЛУ -У.
(14)
Последнее неравенство должно выполняться при любом действительном е, сколь угодно малом по абсолютной величине.
Но оно может выполняться только при условии AX0 • У = 0, так как если AX0 ¦ У > 0, то неравенство (14) невозможно при достаточно малом положительном є, если же AX0 • У < 0, то оно невозможно при достаточно малом по абсолютной величине отрицательном е. Итак, AX0 • K=O, т. е. AX0 действительно ортогонален ко всякому вектору, ортогональному к X0. Следовательно, AX0 и X0 коллинеарны, т. е. AX0 = VX0, где X' — некоторое действительное число. То, что X'= X1, легко проверить, именно
X1 -AX0 ' Xq — X'XQ • X0 —— X .
Теперь легко доказать, что каждая квадратичная форма действительно может быть приведена к каноническому виду посредством ортогонального преобразования.
Пусть elf ?2.....?„ — исходный ортонормальный базис пространства,
Z1, /2, ...,f„— новый ортонормальный базис, в котором первый век-тор fx равен собственному вектору X0 преобразования А. Пусть X1, х2, ...,хп — координаты вектора X в исходном базисе, а х[, х'2, ... ..., х'к — его же координаты в новом базисе. Тогда
