Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
ЧСм. [20, с. 136].
4 Я. М. Ахтямо]
роскоши зависят от дохода х следующим образом х): у(х) = - х > аь
X — Ci
( v Ь2х(х-а2) zlx) = -1-- х > ai, а2 > ai,
ж - с2
где а\,а<х— уровни доходов, при которых начинается приобретение тех или иных товаров.
Функции у(х) и z(x) называются функциями Л. Торнквиста.
Найдем как меняются у(х) и z(x) при х —> оо:
bi (х — ai) _ (ос ^ _ 6i (1 — di/x) _ ^
98
Гл. 6. Использование понятий функции и предела..
не 2 у. е., а только половина этой суммы, т. е. 1 у. е. Если изъять вклад 1 апреля, то процентов будет получено только 0,5 у. е.
Сбербанки начисляют проценты только в конце года или при полном изъятии вклада. Поэтому вместо того, чтобы вложить 1 января 100 у. е. и истребовать их в конце года, оказывается выгоднее (считаем, что плата за оформление нового вклада существенно меньше величины вклада), например, 1 июля изъять весь вклад и вложить его снова. В самом деле, в первом случае в конце года будет получено 102 у. е. Во втором же случае 1 июля будет получено 101 у. е., но на вторую половину года будет вложен вклад не в 100 у. е., а в 101 у. е., на которые и будут начислены проценты. Именно 1% от 101 составит 1,01, т. е. всего будет в конце года получено 102,01 у. е.
Еще выгоднее изымать и снова вносить вклад каждый месяц, каждую неделю, каждый день, каждый час и т. д. В действительности за дробную часть дня сбербанки процентов не начисляют. Но в математической схеме можно себе представить процесс учащения изъятий и внесений вклада беспредельным.
Согласно формуле
полученной в п. 6.2, при ежегодном приросте р %, процент начис-
1 Р о/
ления за--ю часть года составит — /о , а размер вклада за п лет
т т
при т • п начислениях составит
Таким образом, общая сумма вклада в конце года, если проценты начислялись по истечении полугода, составит
Если проценты будут начисляться поквартально, то сумма вклада в конце года составит
если ежемесячно, то
6.4- Непрерывное начисление процентов
99
На практике часто бывает, что какая-либо величина испытывает приращения не скачкообразно, а меняется непрерывно, и ее изменение за этап составляет р % .
Закон изменения этой величины можно найти из представления для Ап(т), неограниченно увеличивая число т (число подэтапов).
Вычислим предельное значение величины Ап(т) при т —> оо в конце n-го этапа:
/ \ тп
Ап= lim А0[1 + -?—
т^оо \ 100 т
Таким образом, задача о непрерывном начислении процентов приводит к необходимости использования второго замечательного предела:
lim
х—>оо
1 + -) =е.
х
С помощью этого предела получаем, что р
Ап = lim А
х—>ос
1 +
100 т
= lim
х—>ос
100 т
А0[1 +
р
100 т
100
= ^ое1
Поскольку количество лет п в этой формуле может быть и дробным числом, обозначим его через t. Тогда получим
A(t) = А0 е
100
Полученная формула непрерывного начисления процентов выражает показательный (экспоненциальный) закон роста (при р > 0) или убывания (при р < 0).
Погрешность вычисления суммы вклада по формуле непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой сложных процентов, начисляемых ежегодно (т = 1), при процентной ставке р = 5% составляет около 2,5%.
Погрешность вычисления суммы вклада по формуле непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой сложных процентов, начисляемых ежедневно (т = 365), при процентной ставке р = 5% является более меньшей и составляет сотые доли процента.
4*
100
Гл. 6. Использование понятий функции и предела.
Конечно, нельзя себе представить, чтобы кто-либо изымал и обратно вносил свой вклад в Сбербанк не только бесконечно часто, но даже делал это один раз в год для увеличения процентной суммы. В практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко. Однако оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности при обосновании и выборе инвестиционных решений и при анализе инфляционных процессов.
V Пример. Пусть темп инфляции составляет 20 % в год. Тогда реальная стоимость хранящихся дома денежных сбережений уменьшается. Насколько она уменьшится за месяц?
Решение. Применение формулы начисления непрерывных процентов дает
-20-1/12
Л(1/12) = Л0 е 100 = Л0 е"1/60 « 0,98 • А0,
где Aq — хранящаяся дома денежная сумма.
Таким образом, инфляция за месяц уменьшит реальную стоимость денежной заначки приблизительно на 2%. А
Полезна формула непрерывного начисления процентов и в демографии. Закон показательного роста позволяет прогнозировать изменения в составе населения, динамику роста трудоспособного населения, соотношение городского и сельского населения, текучесть рабочей силы и т. п.
Некоторые другие применения показательного закона роста будут рассмотрены также при изучении дифференциальных уравнений.
6.5. Паутинообразная модель рынка и ряд
Будем предполагать, что производители зерна определяют предложение s (supply) товара в текущем периоде на основе цены р (price), установившейся в предшествующем периоде, а спрос d (demand) на товар изменяется в зависимости от цены в данном периоде. Предположение о запаздывании предложения от цены вполне объяснимо. Действительно, решение об объеме производства принимается с учетом текущих цен, но производственный цикл имеет определенную продолжительность, и соответствующее этому решению предложение появится на рынке по окончании данного цикла.
