Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
V Пример 2. Найти дифференциал функции f(x) = с. Решение, dc = с' • dx = 0 • dx = 0. А
V Пример 3. Найти дифференциал функции f(x) = х3. Решение, d (х3) = (х3)' dx = 3 х2 dx. А
Ни одно человеческое исследование не может назваться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства.
Леонардо да Винчи
Глава 8 Основные теоремы о производных
8.1. Правила дифференцирования
1. Дифференцирование суммы и разности. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных, т. е.
(u±v)f = и ±vf.
? Докажем это утверждение в случае суммы.
и(х + Ах) + v(x + Ах) — (и(х) + v(x))
(и(х) + v(x))f = lim Аж->-0
Ах
У (и(х + Ах) — и(х) ^ v(x + Ах) — v(x) Аж^о V Ах Ах
1- Аи л. Av ч ч
= 11 г г 1---У 11 г г 1 -— = и (х) + v (х .
Аж->0 Ах Аж->0 Ах 4 у 4 у
Равенство (и(х) — v(x))' = и'{х) — v'(x) доказывается аналогично. ¦
Это правило справедливо и для случая суммы конечного числа функций: производная суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.
2. Дифференцирование произведения. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй, плюс произведение производной второго сомножителя на первый:
(и v)' = и V + и V .
8.1. Правила дифференцирования
115
U (u(x)v(x)) = lim-----=
v v J v П АжчО Ax
( Av Au Au \
= I mi и---h v---h -г— Av =
АжчО V ^x ^x ^x J
= uv' + v и + и lim Av = иv + v u.
Аж^О
При вычислении lim Av было учтено, что v дифференцируема
Аж^О
(следовательно и непрерывна), и поэтому lim Av = 0. ¦
Аж->-0
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
(cv)' = с v'.
? Если с — постоянный множитель, то имеем (cv)' = cvf + + с' v, отсюда, так как с' = 0, получаем (с v)1 = с v'. Ш
Следствие 2. Производная нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из этих сомножителей на все остальные, в частности
(и v w)' = u'vw + uv'w + uv w'.
? (uv w)' = [(и v) w]' = (и v) w' + (и v)' V =
= (uv)' w' + (uv + и v) w = и V w + uv' w + uv w'. ¦
3. Дифференцирование частного. Если числитель и знаменатель дроби — дифференцируемые функции и знаменатель не обращается в нуль, то производная дроби равна производной числителя, умноженной на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, и все это деленное на квадрат знаменателя. Другими словами, производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
( и \' и' v — uv'
W = V2 ¦
(Разумеется предполагается, что v ф 0.)
116
Гл. 8. Основные теоремы о производных
и + Аи
?
— = lim
V I Аж^О
v±An-L= lim
Ах
v Au — и Av
Аж^О v (v + Av) Ax
= lim
Au Ax
Av
Ax и v — v и
АжчО v (v + Av)
vz
При доказательстве было использовано, что lim Av = О (функ-
Аж->-0
ция v непрерывна). ¦
Следствие. Если знаменатель дроби — постоянная величина, то
и с
и 1
? — = - и,
("-)'= (± и)'=l-u>=U-.
4. Дифференцирование сложной функции. Пусть переменная у есть функция от переменной и, а переменная и, в свою очередь, есть функция от независимой переменной ж, т. е. задана сложная функция у = f(u(x)). Функцию /(•) будем называть внешней функцией, а функцию и(х) — внутренней. В качестве примера рассмотрим сложную функцию у = (4 ж + 7)3. Внешней функцией для нее является степенная функция (-)3, а внутренней — линейная функция и(х) = 4 х + 7. Как найти производную сложной функции? Ответ на этот вопрос дает следующее утверждение:
Если у есть дифференцируемая функция от и (у = f(u)), а и есть дифференцируемая функция от х (и = и(х)), то производная сложной функции существует и равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции, т. е.
Ух = f'u(u)'u'x(x)'
Заметим, что аргументы как внешней, так и внутренней функции сохраняются без изменения.
Более кратко сформулированное утверждение можно записать так: производная сложной функции равна произведению производных, из которых она состоит.
8.1. Правила дифференцирования
117
V Пример. Найти производную функции у = (4 ж + 7)3.
Решение. Функция у = (4 ж + 7)3 составлена из двух функций: внешней / = и3 и внутренней и = 4 ж + 7. Производная внешней функции / = и3 равна у'и = 4: и2. Производная внутренней функции и = 4 х + 7 равна
и'х = (4 ж + 7)' = (4 ж)' + 7' = 4 ж' + 0 = 4 • 1 = 4.
Откуда
у' = 3 (4ж + 7)2 • 4 = 12 (4х + 7)2. А
? Вначале докажем формулу вычисления производной сложной функции в предположении Аи ф 0:
у = lim = lim = lim lim = у[. и'.
Ажчо Аж Джчо Aw Аж Джчо Aw Дж^о Аж и х
Пусть, теперь, Аи = 0. Тогда Ау = у(и + Аи) — у (и) = 0. ГЛ Ау , Аи „
Следовательно, д— = уи • д—. Переходя в последнем равенстве
к пределу при Дж —> 0, получаем у7 = у'и и'х. ¦
Формулу дифференцирования сложной функции легче запомнить, если воспользоваться обозначением Лейбница:
dy _ dy du dx du dx
„ p dy dy du _
