Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
3. Вычисляем приращение функции: Ay = f(x + Ах) — — f (х) = х + Ах — х = Ах.
а гл Ау Ау Ах Л
4. Составляем отношение ——: —— = —— = 1.
Ах Ах Ах
5. Находим предел этого отношения при Ах —> 0: у1 = = lim ^ = lim 1 = 1.
Аж^О Ах Аж^О
Таким образом, производная функции у = х равна единице:
~х' = 1.
Производная функции у = ж3. Пусть у = х3. Найдем производную.
1. Фиксируем значение х аргумента функции и выписываем исходное значение функции f(x) = ж3.
2. В точке х аргументу придаем приращение Ах ф 0 и выписываем новое значение функции f(x + Ах) = (х + Ах)3.
7.4- Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью ... 111
3. Вычисляем приращение функции: Ay = f(x + Ax) — f(x) = = (х + Ах)3 - х = х3 + Зх2Ах + Зх(Ах)2 + (Ах)3 - х3 = = Ах (3 х2 + Зх Ах + (Ах)2).
Ау Ау
4. Составляем отношение -—: -— = 3 х2 + Зх Ах + (Ах)2.
Ах Ах
5. Находим предел этого отношения при Ах —> 0: у' = = lim ^ = lim (3 х2 + Зх Ах + (Ах)2) = 3х2.
Аж->0 Ах Аж->0 V v / /
Таким образом, получаем
(х3)' = 3х2.
Эта схема нахождения производной полезна для начального обучения. По мере ее усвоения необходимость в подробных записях пропадает. Поэтому в дальнейшем при нахождении производной будем придерживаться этой последовательности, но не будем расписывать ее так подробно.
7.4. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции
Напомним одно из определений непрерывности. Функция называется непрерывной в точке, если в этой точке lim Ау =
Аж^О
= 0. Между понятиями непрерывности и дифференцируемости (существованием конечной производной) имеется простая связь.
Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке функция непрерывна.
? Пусть функция дифференцируема. Тогда существует ко-
нечныи предел lim -— = у . Отсюда Аж^О Ах
lim Ay = lim \ • Ах) = lim • lim Ах = у' • 0 = 0.
Аж->0 Аж->0 \Ах ) Аж->0 Ах Аж->0
Следовательно, функция у = f(x) непрерывна в точке х. Ш
Заметим, что обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной.
Простейшим примером непрерывной функции, не имеющей производной в одной точке, является функция у = \х\. Эта функция непрерывна при х = 0, но не является дифференцируемой
112
Гл. 7. Производная
для этого значения, так как в точке х = О график функции имеет излом, и там не существует касательной.
Таким образом, непрерывность функции — необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости функции. Вейер-штрассу удалось построить пример функции, недифференцируе-мой ни в одной точке. Впоследствии подобные примеры были найдены другими математиками. Построить такие функции нелегко, и их почти невозможно наглядно изобразить с помощью графика.
Впервые отчетливое различие между понятиями непрерывности и дифференцируемости функции было дано Н. И. Лобачевским.
ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай Иванович (1792-1856) — российский математик. Родился в Нижнем Новгороде в семье бедного чиновника. Почти всю свою жизнь провел в Казани. Деятельность Лобачевского в качестве ректора университета положила начало процветанию и славе Казанского университета.
Он создал так называемую неевклидову геометрию, известную под названием геометрии Лобачевского, явившуюся поворотным пунктом в развитии математического мышления XIX века. Лобачевский не побоялся новизны и необычности открытия, ломающего многовековые научные традиции, и опубликовал свои воззрения в России. Сочинения Лобачевского почти никем в то время поняты не были и подверглись резкой критике. Лишь немецкий ученый Гаусс, хотя и не высказываясь в печати, высоко оценил труды Лобачевского и по его представлению Лобаческий был избран в 1842 г. членом-корреспондентом Гетингенского ученого общества. Полное признание и широкое распространение геометрия Лобачевского получила через 12 лет после его смерти.
Лобачевский внес большой вклад и в другие области математики. В его работах различаются понятия дифференцируемости и непрерывности функций, но и эта идея завоевала всеобщее признание только через много лет после смерти автора. Он внес значительный вклад в теорию определителей, рядов и алгебраических уравнений.
Учреждена международная премия его имени, вручаемая Российской Академией наук.
Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором промежутке X, то функция называется непрерывно дифференцируемой на этом промежутке.
Помимо производной в анализе используется понятие дифференциала, которое особенно широко применяется в интегральном исчислении.
7.4- Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью ... 113
Определение. Дифференциалом функции называется произведение производной на приращение независимой переменной:
dy = f'(x)Ax.
V Пример 1. Найти дифференциал функции f(x) = х.
Решение. df(x) = dx = х' Ах = 1 • Ах = Ах. А
Из примера 1 вытекает, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной и поэтому
dy = f\x) dx,
или f (х) = -—.
J v ) dx
dy
Таким образом, обозначение производной f'(x) = —, введенное Лейбницем, можно понимать не только как символическую запись, но и как обычную дробь, числителем и знаменателем которой служат дифференциалы.
