Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Этот предел часто используется в математике для раскрытия неопределенности 1°° и именуется вторым замечательным пределом.
ЭЙЛЕР (Euler) Леонард (1707-1783) — математик, механик и физик. Родился в Базеле, в Швейцарии, и учился там у Иоганна Бернулли. Он был членом Академий в Берлине и в Санкт-Петербурге, и прожил в России в совокупности 31 год. Был похоронен в Петербурге, оставив своей второй родине, наряду с выдающимися трудами, многочисленных потомков, представители которых носят и сегодня славную фамилию Эйлер в Петербурге и в Москве.
Одной из отличительных сторон творчества Эйлера является его исключительная продуктивность. За первые 50 лет издательской деятельности Российской Академии наук (с 1729 до 1780 г.) Эйлеру принадлежит 60% всех ее публикаций по чистой и прикладной математике. Последние 13 лет жизни он работал в полной слепоте, диктуя свои работы ученикам. В его трудах многие математические формулы и символика впервые получают современный вид (например, ему принадлежат обозначения для е и тг). Сфера научных интересов Эйлера всеобъемлюща: его труды — это энциклопедия точных наук XVIII века. Свыше 800 его научных работ составят 72 больших тома все еще незавершенного «Полного собрания трудов», издаваемого в Швейцарии с 1911 г.
Российской Академией наук учреждена золотая медаль имени Эйлера.
V Пример 1. Найти пределы:
или короче
ж-^0
lim (1 + 2ж)5/
Решение.
a) lim +
ж—)>ос у х J
(I00) = lim (1 + -i-
ж->-оо у х/Ъ
)
(ж/5)-5
88
Гл. 5. Техника вычисления пределов
= lim
ж—>оо
1 +
ж/5
(*/5)'
П 5
lim 1 + ^7
(*/5)'
1 5
= е
/1 \ б-(1/ж)-(2/2)
6)11т(1 + 2хр = (1»)=11т(1 + —
= lim
1/(2ж)-юо
1 +
(2х)
1/(2ж)"
10
/ ! \ 1/(2ж)"
lim 1 + ——
1/(2ж)->оо V (2ж)
1 Ю
= е10. А
V Пример 2. Найти пределы:
2х - 1
ж->-оо \ 2х + 3
a) lim
4ж+1
б) lim -
ж—)>ос V 1
+ x
Решение.
2ж — 1
а) При х —> оо основание степени--- стремится к единице,
Ах ~\~ о
а показатель 4х + 1 стремится к бесконечности. Следовательно, имеем неопределенность вида 1°°. Представим основание в виде суммы единицы и некоторой бесконечно малой величины:
2х-1 2ж + 3-4 _ -4
2ж + 3 2ж + 3
2ж + 3'
тогда
2ж - 1
lim . Л
ж->-оо V 2х + 3
4ж+1
= lim 1 +
ж^-сю \ 2х + 3 = ж'Д^о 11 + (2ж + 3)/(-4)
4ж+1
2ж+3 (~4)-(4ж+1) -4 ' (2ж+3)
-16ж-4
5.6. Компьютерное вычисление пределов
89
™ \1+ (2ж + 3)/(-4)
(2х+3)/(-4У
п lim
-16ж-4 2ж+3
= е
б) lim (-^-V = (1°°) = lim (
ж->-оо \l + хJ ж->-оо \
1 + x
= lim
x—>oo
\(1+XY] -l
[{ x ) \
lim - + 1
ж->-оо V x
= e-1 = i. A
Число e во многих случаях выгодно брать за основание логарифмов. Логарифм от ж с основанием е носит название натурального логарифма и обозначается In ж. Показательная функция ех широко используется в науке и называется экспоненциальной. Другое обозначение этой функции — ехрж.
Неопределенности вида 1°°, оо° и 0° можно свести к неопределенности вида 0 • оо следующим образом:
lim f(x)9^ = lim e2W-in/(z) = ex
ж—>-a x^ta
V Пример 3. Найти пределы:
а) lim ^/Оп*).
x—>-+oo
б) lim Ж3/0ПЖ). Решение.
„ //, ч п lim In ж -j-
a) lim ^/Опж) = (oqO) = еЖ^+оо
lim #(ж)-1п/(ж) 0
б) lim ж3/(1пж) = (0°) = еж^+0
lim 1
— g ж—>-+оо — g.
lim 3
— р ж —>-\-оо
е°. А
Замечание. Для раскрытия неопределенностей иногда удобнее оказывается метод Лопиталя-Бернулли, основанный на использовании производной. Поэтому после изучения производной будут рассмотрены новые примеры вычисления пределов.
5.6. Компьютерное вычисление пределов
В случае необходимости пределы могут быть вычислены на компьютере с помощью математических пакетов MathCad, Maple
90
Гл. 5. Техника вычисления пределов
и других. Для вычисления в Maple существуют команда
limit(expr,x=val,dir) ,
где expr — выражение, для которого вычисляется предел (функции или последовательности), x=val — значение точки, для которой вычисляется предел, a dir — необязательный параметр, который может принимать следующие значения: left (предел слева), right (предел справа).
Напомним, что при загрузке пакета Maple автоматически загружается новый рабочий лист, на котором выводится приглашение для ввода команды >. В командную строку можно записать любое алгебраическое выражение, написанное согласно принятым в Maple правилам. Если в конце выражения поставить символ ;, то при нажатии клавиши Enter или кнопки с восклицательным знаком на инструментальной панели, выражение будет обработано программой, а результат выведен на монитор.
V Пример 1. Найти с помощью Maple предел 1 2ж + 3 I (пример 2а п. 5.5).
lim . .
ж->-оо \2х + 3/
Решение.
Вводим команду
>limit(((2*x-l)/(2*x+3))'4(4*x+l) ,x=infinity); ,
нажимаем клавишу Enter и получаем ответ: е-8. А
?7/ sin(?7/!)
V Пример 2. Найти предел lim —9 .
п^оо п + 1
Решение.
>limit(n*sin(n!)/(n~2+l),n=infinity); . Ответ: 0. A
V Пример 3. Найти односторонние пределы lim — ,
ж-^-о 1 + 51 Iх
и lim -—г- (см. с. 75).
Решение.
>limit(l/(l+5~(l/x)),x=0,left); .
