Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, функция —^—^ в точке х = 2 имеет бесконечный разрыв, т. е. х = 3 — точка разрыва второго рода.
б) Здесь функция определена при всех значениях ж, кроме х = 0. Найдем левый и правый пределы функции при х —> 0:
lim З1/* = (З-00) = 0, lim З1/* = (3+°°) = +оо.
Так как при ж, стремящемся к нулю справа, функция имеет бесконечный предел, то х = 0 — точка разрыва второго рода.
в) В этом случае единственной точкой разрыва также является точка х = 0. Вычислим односторонние пределы функции при х -+ 0:
lim -—г- = -—- = 1, lim -—г- = - = 0.
1 + 1 + 0 ж^+0 1 + 51/^ V+00/
Поскольку левый и правый пределы функции при х = 0 являются конечными, х = 0 — точка разрыва первого рода. а
Задача. Для заданных функций найти точки разрыва и исследовать их характер:
ч _ 1
aj У~ (х-2)(х-АУ Ответ:
а)ж = 2,ж = 4 — точки разрыва второго рода, б) х = 1 — точка разрыва второго рода.
К неведомому я иду.
В дороге радость встречи,
Преодоление всех противоречий.
Индийское изречение
Глава 5 Техника вычисления пределов
5.1. Непосредственное вычисление пределов
На протяжении всей главы считается, что функция у = f(x) элементарна.
При вычислении предела lim f(x) вначале проверяют принадлежит ли точка а области определения. Если a Е D(f), то предел равен значению функции f(x) в точке а:
lim f(x) = f(a)
(это объясняется непрерывностью элементарной функции на своей области определения).
V Пример 1. Вычислить:
а) lim (ж3 — х)]
ж—>-2
х% _ х
б) lim -—;
ж->2 х - 1
в) lim cos ж.
ж->0
Решение.
а) lim (ж3 - х) = 23 - 2 = 6;
ж—>-2
б) lim--^ =--^ = 6:
) ж^2 х — 1 2-1
в) lim cos ж = cos 0 = 1. а
7 ж->0
5.1. Непосредственное вычисление пределов 77
x^i\2x + l) \x^i2x + l) \3/ V3
При подстановке в значение функции f(a) вместо а символа бесконечности, результат может оказаться не конечным числом. Например:
lim (х — 3) = +оо — 3, lim (—3х) = (—3) • (—оо),
ж->-+оо ж->—оо
-3 -3 11111 — = -.
ж—у — оо х —ОС
Что считать ответом в этом случае?
При вычислении подобных пределов пользуются одним из следующих правил (в приводимых ниже формулах с означает
Правило сохраняет силу, если а = оо. Запись lim — = О,
X У ОО ОС
например, означает, что когда абсолютное значение х неограниченно возрастает, функция — стремится к нулю (это ясно из графика функции).
V Пример 2. Найти:
а) lim arctg ж;
ж—Y+OC
б) lim arctg ж;
х—> — оо
в) lim ех.
х—> — оо
Решение.
а) lim arctgx = +7г/2;
х—>-+оо
б) lim arctg ж = — 7г/2;
х—> — оо
в) lim ех = 0. а
ж——оо
ж2+1
^тт о тт « 1- | Ж + М ~*+3"
V Пример 3. Найти lim -
Решение.
ж2+1
78
Гл. 5. Техника вычисления пределов
число):
+оо + с = с + (+оо) = +оо + (+оо) = +оо, —оо + с = с + (—оо) = —оо + (—оо) = —оо, с (+оо) = (—оо) (—с) = (—с) (—оо) = +оо, при с > О, с (—оо) = (+оо) (—с) = (—с) (+оо) = —оо, при с > О, (+оо) (+оо) = (-оо) (-оо) = +оо, (+оо) (—оо) = (—оо) (+оо) = —оо,
_?- = -?- = о.
+ 00 —оо
Приведенные формулы следуют из соображений здравого смысла. Например, первая из приведенных формул по существу утверждает, что если одна из функций становится очень большой и положительной, а другая ограничена, то сумма их становится очень большой и положительной. Те же соображения приводят и к формальному доказательству: надо только вместо «очень больших» значений говорить о «больших любого заданного числа».
Применим эти правила для вычисления пределов, которые были оставлены без вычисления:
lim (х — 3) = +оо — 3 = +оо,
ж->-+оо
lim (—3 х) = (—3) • (—оо) = +оо,
ж—> — оо
lim —- = —— = 0.
Ж—)- — ОО x —00
Соображениями здравого смысла руководствуются и при вычислении пределов от функций при х —> ±оо. Надо проследить по графику функции куда стремится значение функции, если аргумент стремится к ±оо.
V Пример 4. Вычислить:
а) lim 5 ;
ж^оо 4 x + 1
б) lim In ж;
ж—>-+оо
( + 00) С =
(—оо) с =
5.1. Непосредственное вычисление пределов
79
в) lim еж.
ж—>-+оо
Решение.
а) При х —> оо знаменатель 4 ж + 1 неограниченно растет, т.е. является величиной бесконечно большой, а обратная величина--- — бесконечно малой. Произведение--- • 5 беско-
нечно малой на ограниченную величину (постоянная — частный случай ограниченной величины) есть величина бесконечно малая,
и предел ее при х —> оо равен нулю. Следовательно, lim--- =
Этот же ответ получается при применении последнего из при-
б) lim In х = +оо.
х—Y+OC
в) lim ех = +оо.
х—>-\-ос
Приведенные рассуждения не являются строгими. Однако они вполне достаточны для приложений и интуитивно понятны.
с
Как уже было отмечено ранее, выражение - при с ф 0 можно считать равным оо:
Выражение - взято в скобки, чтобы подчеркнуть условность записи.
V Пример 5. Найти:
ж->-оо 4 x + 1
= 0.
веденных выше правил: lim
с
б) lim ctgx;
в) lim tgx.
ж-^тг/2+0
Решение.
80
Гл. 5. Техника вычисления пределов
б) lim ctgx = lim C°SX = (i j = oo: ж->о ж->о sin ж \0 J
в) lim tgx = lim SmЖ
ж^тг/2+О ж-И) COS x
= —оо. a
5.2. Раскрытие неопределенности вида -
