Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
5.3. Раскрытие неопределенности вида —
00
^ тт i тт « г 2Ж5 + 10Ж
V Пример 1. Найти lim--5-.
Решение. При х —> оо числитель и знаменатель — величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственной подстановке символа оо вместо х получаем выражение оо/оо, которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции нужно и числитель и знаменатель разделить на ж4 (наивысшую степень аргумента в знаменателе):
2ж5 + 10ж 2х + 10/х3
lim -т-о- = lim —-—-j— =
ж^оо §х +Х ж^оо 5 + 1/Ж
'2-ос + 10/ос3\ /ос + 0
1 — ' ' = оо.
5 + 1/00 ) V5 + 0 2x100 + 10x
V Пример 2. Найти lim 1ПП QQ .
84
Гл. 5. Техника вычисления пределов
Решение. При непосредственной подстановке символа оо вместо х получаем неопределенность вида оо/оо. Для вычисления предела этой функции нужно и числитель и знаменатель разделить на ж100 (наивысшую степень аргумента в знаменателе):
2 х100 + 10 х 2 + 10/ж" 2 + 0 2
lim ——гт^-птг = lim - -
ж-
>оо 5ж100 + ж" ж^оо 5 + 1/ж 5 + 0 5
(при ж ^ оо слагаемые 10/ж" и 1/х — величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю). а
2 х10 + 10 х2 V Пример 3. Найти lim -Тл-
х^оо 5 х + ж
Решение.
2 ж10+ 10 ж2 /оо\ 2/ж + 10/ж9 0 + 0 0 . lim -Тл-^— = — = lim —-=--- = - = 0. а
ж->оо 5Ж11 + ЖУ \оо/ ж^оо 5 +1/хг 5+0 5
Вообще, предел отношения полиномов при х —> оо равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя одинаковы, и равен нулю или бесконечности, если степень числителя соответственно меньше или больше зна-
менателя.
V Пример 4. Найти lim .
ж^+оо \2 x + 1
Решение.
x +1 \ ж+3
ж->оо V 2 г 4- 1 / V ж->оо 2 .г 4- 1 / V 2 /
2ж + 1у \ж^о2ж + 1/ \2>
2 д/ж + 5 л/х
V Пример 5. Найти lim ._ „._.
х^°° л/Ъх-2 + V2х - 3
Решение. В подобных примерах полезно иметь в виду, что функция /(ж) = n\Ypn~{x) •) где Рп(х) — многочлен степени п, стремится к бесконечности так же, как и функция 1л/х™ . Это позволяет выделить высшую степень ж, входящую в данное выражение, и разделить числитель и знаменатель на эту степень х. В данном примере надо делить на у/х; тогда получим
2х/х + 5 \[х
lim
ж->°о УЗ ж - 2 + V2
5.4- Раскрытие неопределенностей вида оо — оо и 0 • оо 85
2 + 5/v^3 2 2л/3
= lim - = = -р- = —-—. а
ж-^ос .- 3/ 3 л/Ч 3
л/3 - 2/ж + V(2^-3)/x2 Vt5
5.4. Раскрытие неопределенностей вида сх) — сх) и 0 ос
Неопределенности вида 0 • оо и оо — оо путем преобразова-
0 оо
ния можно привести к неопределенности вида - или —, которая
О оо
раскрывается уже известными способами.
Покажем на примерах, как находятся такие пределы.
х2
V Пример 1. Найти lim
яГ4оо \х — 1 х2 — 1, Решение. Произведем вычитание дробей, получим
, х х2 \ х (х +1) — х2 X
11111----к- = 11111 —-—к—--= 11111
ж—>ос у х — 1 х — 1 7 х~X — 1 х—>оо х — 1
= lim -—г^ =--- = 0. а
х^ос 1 - 1/х2 1-0
V Пример 2. Найти lim f л/х2 + 6 х + 5 — ж) . Решение.
lim ( \/х2 + 6 ж + 5 — х ] = (оо — оо) =
ж->-оо V / 4 '
i^s/х2 + 6х + 5 — • (^\/х2 + 6ж + 5 +
ж^°° лД2 + 6 ж + 5 + ж
ж2 + 6ж + 5 — ж2 ж2 + 6ж + 5 — ж2
= 11 г г 1 — =- = 11 г г 1
ж^°° лД2+6ж+5 +ж ж^°° лД2+6ж+5 +ж
6 ж + 5
= 11 г г 1
ж^°° \]х2 + 6 х + 5 +
= lim . 6 + 5/g- = _Ё_ = а Ж
ж-
^Д + б/ж + б/ж2 +i vT +1
V Пример 3. Найти lim (х sin — ) .
ж—>-оо \ х
86
Гл. 5. Техника вычисления пределов
Решение.
г 1 / ъ\ т. sin± /0\ r sin у 1
11111 х sin — = (оо • (J) = 11111 —-г^- = I - I = 11111 - = 1
ж->-оо х ж—)>ос _L у О / у^О у
ж
(сделали замену у = —). А
Задача. Найти lim (1 — х) tg —-.
ж—>4 2
Ответ: 2/тг.
5.5. Раскрытие неопределенностей вида 1°°, оо° и 0°
Рассмотрим последовательность {ап}, где ап= [1 +
Может показаться, что неограниченное возрастание показателя степени п должно повлечь неограниченное возрастание целочис-( IV
ленной функции ( 1 Н— I . Но рост показателя компенсируется
тем, что основание 1 + — стремится к 1. В результате последо-
п
вательность {ап} оказывается возрастающей и ограниченной. А всякая ограниченная и возрастающая последовательность име-
( 1V
ет конечный предел. Предел, к которому стремится 1 Н— ,
V nj
при п —> оо обозначается е :
lim (l + = е.
п^-оо у п )
Обозначением числа е и его широким применением во многих вопросах математики мы обязаны Эйлеру. Это число иррационально и с точностью до шестой значащей цифры равно 2,71828:
е « 2,71828.
Функция f(n) = I 1 Н— ) имеет пределом число е не только
при целочисленных значениях п, но и тогда, когда п стремится к бесконечности, пробегая числовую прямую непрерывно. Более того, аргумент п может принимать как положительные, так и
5.5. Раскрытие неопределенностей вида 1°°, оо° и 0° 87
отрицательные значения, лишь бы п неограниченно росло по абсолютному значению. Чтобы отметить это обстоятельство, заменим букву п буквой х и напишем:
