Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Ответ: 1.
>limit(l/(l+5'4(l/x)) ,х=0,right); .
1
5.6. Компьютерное вычисление пределов
91
Ответ: 0. А
Для вычисления суммы ряда используется команда
>sum(expr,var=varl..var2); ,
где expr — выражение, зависящее от переменной суммирования var, a varl. .var2 — пределы суммирования.
ОО g
V Пример 4. Найти сумму ряда ^ —— (см. с. 53).
п=1
Решение.
sum(3/(lCTn),n=l..infinity); .
Ответ: -. А 3
оо
V Пример 5. Найти сумму геометрического ряда
п=0
q\ < 1 (см. с. 53). Решение.
>sum(q~n),q=0..infinity); .
Ответ:
1
1-q
. А
В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления.
В. Ермаков
Глава 6
Использование понятий функции и предела в социально-экономической сфере
6.1. Функции в социологии и психологии
V Пример 1 (Модели включенности в малую дискуссионную группу) х). В моделях включенности в малую дискуссионную группу единицей анализа являются коммуникативные действия. Действие определяется как наименьший сегмент поведения, который может быть отнесен к одной из 12 категорий, таких как «проявляет солидарность» (поднимает статус других, оказывает помощь, поощряет), «советует» (руководит, учитывает автономию других), «ориентирует» (рассказывает, вносит ясность, подтверждает), «не соглашается» (саботирует, проявляет педантизм, не помогает), а также ряда других. Все группы ранжируются по частоте их действий. Для большого числа групп одинакового размера п эмпирически (на основе опытных данных) вычисляется Nn(r) — частота действий индивида r-го ранга в группе размера п.
Если бы TV (г) была близка к постоянной величине, то это бы означало «равенство» в количестве действий индивидов. Однако многочисленные исследования социальных психологов показывают, что в частоте действий индивидов наблюдаются значительные различия. В реальных группах действия распределены неравномерно среди их членов. Зависимость частоты действий индивида от его ранга оказывается гиперболической:
JV„(r) = ^, г = 1, 2, ... , п,
где сп — эмпирический коэффициент для группы размера п. ЧСм. [31, с. 191-192].
6.1. Функции в социологии и психологии
93
Эта гиперболическая зависимость в социальной психологии носит название «закона Ципфа».
Иногда вместо частоты Nn(r) удобнее рассматривать долю действий Pn(r) = Nn(r)/N, где N — общее количество действий в группе.
Ф. Стефан и Е. Мишлер х) предложили следующую аналитическую зависимость для доли действий:
Рп(г) = а(п) • &г_1(п),
где а(п) и Ь(п) — эмпирические коэффициенты.
Для своих данных, собранных на студенческих группах численностью от 4 до 12 членов, Стефан и Мишлер получили следующие значения этих коэффициентов:
а(п) = 234/(п + 4), и Ь{п) = 0,522 + 0,0172п.
С этими оцененными коэффициентами модель показала хорошее согласие с эмпирическими данными (действия, направленные к лидеру или от него, исключались). А
V Пример 2 (Модель групповой продуктивности).
Обыденная точка зрения на связь между научной продуктивностью и размером научной группы такова: чем меньше группа, тем меньше «бездельников», тем более группа продуктивна. По мнению большинства людей уменьшение группы, ее дробление способствует большей продуктивности каждого члена группы. Однако многочисленные исследования социологов не подтверждают это мнение. Обыденное мнение верно «с точностью до наоборот». Увеличение научных групп способствует их большей продуктивности. Более того, продуктивность группы растет при ее увеличении экспоненциально. А. И. Яблонским 2) была предложена следующая модель:
р(п) = р(1)еа^-г\
где п — число индивидов в научном коллективе; р(п) — его продуктивность; р(1) — продуктивность при п = 1.
В этой модели продуктивность группы измерялась отношением с/n, где с — число ссылок на работы организации, в которой
г) См.: Stephan F., Mishler Е. G. The distribution of participation in small groups: an exponential approximation. //Amer. Soc. Rev. 1952. V. 17, № 5. P. 482-608.
2) См.: Яблонский А. И. Модели и методы математического исследования науки. М.: ИНИОН АН СССР, 1977. С. 89-90.
94
Гл. 6. Использование понятий функции и предела..
работает данная группа. Вопреки традиционной точке зрения эта модель предсказывает, что продуктивность является возрастающей функцией размера группы. А
6.2. Функции в экономике
В экономике многие зависимости могут быть заданы как функции одной переменной у = f(x).
Наличие функциональных зависимостей позволяет использовать для решения экономических проблем методы математического анализа. В качестве примеров функциональных зависимостей можно привести следующие функции, имеющие смысл в некоторой области значений аргумента:
1. Функция спроса от цены товара. Обозначим через х цену товара, через у — спрос на товар. Тогда функцию спроса часто можно выразить аналитически (т. е. в виде формулы):
У = f{x).
Например,
200 -Зх
У = —~, У = е 6х. х + 2
2. Функция цены от спроса товара. Если х — спрос на товар, у — цена товара, то у = f(x). Например, у = Зж-0'8.
3. Суммарная выручка, равная произведению количества проданного товара на цену товара, тоже является функцией спроса, если цена — функция спроса.
