Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Например, если х — спрос, цена то выручка •
4. Суммарные издержки производства F и средние (удельные) издержки производства (себестоимость) / — функции от объема производствах: F = F(x), f(x) = F(x)/x.
Например, F(x) = Ъх + 300, f(x) = 5 + 300/ж.
5. Сумма денежного вклада в Сбербанке у — функция от времени х, которое хранится вклад: у = у(х).
Например, у = 100(1,03)ж.
6. Функция полезности (функция предпочтений) — в широком смысле зависимость полезности, т. е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.
6.2. Функции в экономике
95
В некоторых экономических задачах, например, в задачах о денежных вкладах в Сбербанке, возникает необходимость рассчитать так называемые «сложные проценты».
Мы говорим, что имеем дело со сложными процентами в том случае, когда величина в конце каждого этапа времени испытывает изменение на определенное число процентов, причем каждый раз начисление процентов происходит по отношению к тому значению рассматриваемой величины, которое образовалось в конце предыдущего этапа времени.
Рассмотрим случай, когда в конце каждого этапа времени начисляется одно и тоже постоянное количество процентов р%.
Некоторая величина Л, исходное значение которой Ло, в конце
р ( р
первого этапа будет равна а\ = л0 + — л0 = л0 ( 1 + —
В конце второго этапа — а2 = а\ ^1 + = Aq (^1 + -^^j .
В конце третьего этапа — Л3 = а2 ^1 + ^^ = Aq(^1 + и т. д.
Ясно, что в конце n-го этапа
А» = А^1 + ш."
Эта формула показывает, что величина А растет (или убывает, если р < 0) в геометрической прогрессии, первый член которой
р
равен Aq , а знаменатель — величина yl +
V Пример 1. Определить сумму, которую получит вкладчик через 3 года, вкладывая 10 денежных единиц под сложный процент, ставка которого 3% .
Решение. Зависимость суммы А от количества лет п, которое хранится вклад, первоначально равный Aq , определяется формулой
А = А0 (1 + 0,03)ж = Л0(1,03)ж. В данном случае А = 10 (1,03)3 = 10,91927 « 11 ден. ед. А
V Пример 2. Вычислить, в какую сумму обратилась бы копейка в 2002 году, если бы ее положили в сберегательный
96
Гл. 6. Использование понятий функции и предела..
банк в начале нашей эры под 5% годовых? Предполагается, что денежные реформы не проводятся и нет инфляции.
Решение. Согласно приведенной выше формуле
А = Ао(1 + 0,05)п = (1,05)2002.
К концу 2002 года копейка обратиться в (1,05)2002 копеек. 2 40 копеек — это приблизительно десять миллиардов рублей. Наша сумма, однако, в 2103 раза больше; точнее она выражается числом, состоящим из 49 цифр. Значит, речь идет о сумме, которая намного превосходит все денежные запасы земного шара.
Этот результат показывает, что денежные реформы неизбежны. А
6.3. Пределы в социально-экономической сфере
V Пример 1. Экспериментально была установлена зависимость у = 200/(х + 2) между ценой одного из товаров х и спроса на него у. Исследовать поведение функции спроса от цены товара у = 200/(ж + 2) при неограниченном увеличении цены (х —> -> оо).
Решение.
200 200 . lim - = -= 0.
х^оо х + 2 оо
Таким образом, при неограниченном росте цен спрос приближается к нулю. А
V Пример 2. В п. 6.1 была рассмотрена модель групповой продуктивности
где п — число индивидов в естественно-научном коллективе; р(п) — его продуктивность; р(1) — продуктивность при п = 1. Найдем продуктивность естественно-научного коллектива при неограниченном увеличении его членов (п —> оо):
lim р(п)= lim p(l)ea(ri_1) = оо.
Предел равен бесконечности. Отсюда следует, что не существует оптимального размера группы с наибольшей продуктивностью. А
V Пример 3. Экономические исследования показывают, что спрос у на товары первой необходимости и спрос z на предметы
6.4- Непрерывное начисление процентов 97
, ч r 6i (ж - ai) /ос\ 6i (1 lim у (ж) = 11 г г 1 -= I — I = 11 г г 1 -
ж—>-оо ж—>-оо х — С\ \ ОС) ж—>-оо 1
ci/x
у /чг Ь2х(х-а1) (оо\ Ь2х(1-а1/х)
11 г г 1 z(x) = lim -1-- = — I = lini----1—- = оо.
ж->-оо ж->-оо X — С\ \ ОС У ж->-оо 1 — С\/х
Таким образом, при неограниченном увеличении доходов спрос на товары первой необходимости растет до определенного предела, равного Ь\. Миллионеры не покупают для себя хлеба больше, чем съедят. Поэтому число Ь\ называется уровнем насыщения.
Спрос же на предметы роскоши не имеет уровня насыщения. Он растет даже при неограниченном росте доходов.
Как видно из приведенных примеров, многие социально-экономические закономерности удается увидеть с помощью предельного перехода. Именно поэтому приобретение навыков вычисления пределов является необходимым и включено в программу по математике для экономистов, социологов и психологов.
6.4. Непрерывное начисление процентов
Большую роль в социально-экономической сфере играет второй замечательный предел:
( 1 V lim 1Л— = е.
ж->-±оо у х )
Пусть Сбербанк выплачивает в год 2% от суммы вклада. Если 1 января положить в банк 100 у. е. (условных денежных единиц), то в конце года на них будет начислено дополнительно 2 у. е. Но если 1 июля взять весь вклад обратно, то процентов будет начислено
