Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 23

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 123 >> Следующая

Имеются случаи, не охватываемые правилами из предыдущего параграфа. Не существует «общей формулы» для выражения jj. В самом деле, пусть f(x) = х2, д(х) = хп, где п —
целое число. Частное этих функций f(x)/g(x) = х2~п при х —> 0 является частным бесконечно малых. Оно может стремиться к нулю (при п = 1), или 1 (при п = 2), или оо (при п = 4). Поэтому
выражение - и подобные ему называются неопределенностями. К неопределенностям относятся следующие выражения:
0 0' 00 0 • оо, оо — оо, л оо оо°, 0°.
00
Как для случая неопределенности вида -, встретившейся при
сравнении бесконечно малых, здесь для раскрытия неопределенности уже недостаточно знать лишь пределы функций f(x) и д(х), а нужно учесть и закон их изменения.
Примеры раскрытия неопределенностей приведены ниже.
2 х2 — х
V Пример 1. Найти lim —^-.
ж-ю х2 - 2х
Решение. Непосредственной подстановкой вместо аргумента
его предельного значения вычислить предел нельзя, поскольку
О
получается неопределенность вида -.
Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо. По определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения (вспомним, что в определении предела по Коши ж G (-i, 0) U (0, 5)); поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к
5.2. Раскрытие неопределенности вида ^
81
нулю. Имеем:
х2-х Л. х(2х-1) 2х-1 1 1
11 г г 1 —^- = 11 г г 1 —--— = 11 г г 1 - = 11 г г 1 - = -. а
ж-^о х - 2х ж-И) х [X -2) х^о х - 2 ж-^о 2 2
V Пример 2. Найти lim
х2 — 5 х + 6
ж->з Зж2-9ж
Решение. Пределы числителя и знаменателя при х —> 3 равны нулю:
lim (х2 - 5 ж + 6) = З2 - 5 • 3 + 6 = О,
Нт(ЗаГ-9ж) = 3-3 -9-3 = 0.
Разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле ах2 + Ьх + с = а(х — х\) (х — #2), где х\ и Х2 — корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим на (х — 3), получим
ж2-5ж + 6 (х-3)(х-2) ж-2 3-2 1 11 г г 1 -к- = 11 г г 1--j-±-—- = lini - = - = -. а
ж->з Зх2-9х ж^з Зж(ж-З) ж->з Зж 3-3 9
^ тт о тт г х3 - 1000
V Пример 3. Найти lim —5-о-•
ж-ио х3 - 20 х2 + 100 ж
Решение.
lim ж3 - 1000 _ (ж-10) (ж3+ 10 ж+ 100) _ ж-ио ж3 - 20 ж2 + 100 ж ~~ х-ио х(х-Щ2 ~
_ х2 + 10х + 100 _ /300\ _ ~~ ж ™о х {х — 10) ~~ \~0~) ~
V Пример 4. Найти lim
00.
х->о V5 - ж - л/5 + х
Решение. Пределы числителя и знаменателя при х —> 0 равны нулю. Умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель л/5 — х + л/5~+~х и затем, сократив дробь на ж, получим:
х ж (л/5 — ж + л/5 + х'
11 г г 1 ,-, = 11 г г 1
ж
->о л/5 - ж - V5 + ж ж^о (л/5 - ж - л/5 + ж)(л/5 ж + У5 + ж)
ж (л/5 — ж + л/5 + х) л/5 — ж + л/5 + ж /-
= 11111 - = 11111 - = —V5 .
ж->о —2 х ж->о -2
82
Гл. 5. Техника вычисления пределов
4-х2
V Пример 5. Найти lim . -.
х^2 а/ТТ^ - 3
Решение. Когда х —> 2, числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, получается неопределенность вида -. Желая избавится от иррациональности в знаменателе, преобразуем данное выражение:
4-х2 _ (4-x2)(VTT^ +3)
у/ТТх - з (у/ТТх - з) (у/ТТх + з)
_ (4 - x2)(VTT^ +з) _ (2 - x) (2 + x) (y/TTx + 3)
7 + x - 9
= -(2 + x)(VTT^ +3).
Перейдя к пределу, получим
4-х
2
lim -= - lim (2 + x) (л/7 + ж + 3) = -4 • 6 = -24. a
В предыдущих примерах неопределенность вида — раскрывалась путем выделения в числителе и знаменателе общего множителя. Однако этот прием «срабатывает» не во всех случаях. тт sin5x
Например, в случае предела lim - неясно, как выделить
ж-)>0 x
общий множитель. Этот предел можно вычислить с помощью принципа замены эквивалентных. Вычислим этот предел другим способом — сведением к пределу
ж-И) х V0
называемому 300 лет назад первым замечательным пределом. Доказательство равенства lim -= 1 нетрудно и опирается
ж-)>0 x
на геометрические свойства тригонометрических функций. Здесь оно не приводится.
Заметим, что выражение - взято в скобки, поскольку писать jj = 1 нельзя! Скобки в записи ^jj^ подчеркивают ее условность. Равенство f jj j =1 означает, что в данном конкретном
5.3. Раскрытие неопределенности вида —
83
случае неопределенность раскрыта и значение соответствующего предела равно единице.
V Пример 6. Найти lim S*n ^Х.
ж->0 х
Решение.
sin Ъх /0\ т к sin Ъх „ sin Ъх „ Л „
11 г г 1 -= I - I = 11 г г 1 5 • —— = 5 • 11 г г 1 -—— = 5-1 = 5. а
ж->-0 X \0/ ж-)>0 ОХ 5ж->-0 ох
^ тт тт » 1- 1 — COS 10 X
V Пример 7. Найти lim -^-.
ж->0 х1
Решение.
1 —cos 10 ж /0\ 2 sin2 Ъх
11111 -7Z- = I - I = 11111
х-Ц-Ъ х2 \0 J ж->о х2
= 2 • 25 • lim = 50 • I2 = 50. а
5ж->0 (5ж)
Задача. Найти пределы, приведенные в примерах 6 и 7 с помощью принципа замены эквивалентных.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed