Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
6.5. Паутинообразная модель рынка и ряд
101
Если спрос и предложение линейно зависят от р, то динамика цены описывается следующими уравнениями:
s(t) = ap(t - 1) + b, d(t) = -mp(t) + п.
Здесь n > b > 0, так как при нулевой цене спрос превышает предложение; а > 0, так как функция предложения возрастающая; т > 0, так как функция спроса убывающая.
Таким образом, если спрос s(t) равен предложению cf(t), то получим следующее рекуррентное соотношение:
т т
Последовательно применяя это соотношение, находим: Ъ
р(1) р(2)
п
т
п — b т
р(3) =
771
-р(0);
771
т \ т т 1
1--) + [-) р(°);
1-- + -) р(0)
Выражение в квадратных скобках есть сумма первых t членов геометрической прогрессии:
St = l + q + q2 + ... + qt-1 = -1-^,
1-о
102
Гл. 6. Использование понятий функции и предела.
где q = — —. Отсюда получаем выражение для цены p(t) в произвольный момент времени t :
ч п - b 1 - ql , * /ГЛЧ ш 1 — г/
Следовательно, динамика цен носит колебательный характер.
Пусть t —> оо. Если \q\ < 1, то lim Sn = S =-- и
t^oc 1 — q
, j4 n — 6 1 n — b p(t)
m I — q m + a
т. е. при ?—>>oo и a/m < 1 равновесие устойчиво и цена стремится к своему равновесному значению
_ п — b
V = —— •
т + а
Если |g| > 1, то p(t) —> оо (равновесие неустойчиво). При \q\ = 1, т. е. при а = т, значения р(?) чередуются вокруг равновесного значения р.
Заметим, что в реальности при — > 1 бесконечно возрастаю-
т
щих колебаний не происходит, так как при больших отклонениях от равновесия линейные зависимости спроса и предложения от цены становятся нереалистичными. В более реалистической нелинейной модели устанавливаются колебания большой, но конечной амплитуды.
Раздел II Дифференциальное исчисление
Там, где прежде были границы науки, там теперь ее центр.
Г. Лихтенберг
Глава 7 Производная
7.1. Задачи, приводящие к понятию производной
1. Тангенс угла наклона касательной. Пусть дана непрерывная кривая у = f(x) и необходимо найти тангенс угла наклона касательной к этой кривой в точке М(#о, Уо)-
Прежде всего необходимо выяснить, что мы будем понимать под касательной к кривой. В школьном курсе касательную к окружности определяют как «прямую, имеющую с кривой лишь одну общую точку». Но это определение имеет частный характер, не вскрывая существа. В общем случае касательную нельзя определять как прямую, имеющую с кривой одну общую точку. В самом деле, ось Оу имеет с кривой у = sin х общую точку, но не является касательной к ней. А прямая у = 1 имеет с той же кривой у = sin х бесконечное число общих точек, в которых она касается кривой. Поэтому для определения касательной к кривой должен быть реализован другой подход.
Дадим аргументу хо приращение Ах и перейдем на кривой у = f(x) от точки Мо(жо, Уо)) к точке М\(х$ + Дж, уо + Ау). Проведем секущую MqM\ (рис. 7.1). Когда М\ вдоль кривой будет перемещаться к точке Mq, секущая будет вращаться вокруг
104
Гл. 7. Производная
s(t0)
s(t0 +А*)
тангенс угла наклона касательной
As
мгновенная скорость
Рис. 7.1. Задачи, приводящие к понятию производной
точки Мо и приближаться к некоторой прямой с углом наклона а. Эту прямую и называют касательной.
Таким образом, определение касательной в общем случае можно сформулировать следующим образом:
Касательной к кривой у = f(x) в точке Mq называется предельное положение секущей MqMi при приближении точки М\ к точке Mq, т. е. при Ах —> 0.
Тангенс угла наклона секущей может быть найден из прямоугольного треугольника MqM\N как отношение противолежащего катета к прилежащему:
|Mi7V| _ Ay ~ Ах'
|M07V|
Тогда тангенс угла наклона касательной
Ау
tgce= lim tg(? = lim -—.
АжчО АжчО Ах
2. Мгновенная скорость. Рассмотрим некоторое прямолинейное движение. Представим себе, что мы движемся по прямолинейной дороге, вдоль которой вместо километровых столбов проходит числовая ось. В нашем распоряжении имеется секундомер. По числовой оси мы в любой момент времени ?, показанной секундомером, можем определить пройденный путь s. Таким образом, каждому значению t соответствует определенное значение 5, т. е. 5 является функцией ?, что выражается с помощью уравнения движения
s = s(t).
Как понимать скорость точки в момент времени to? Математики XVII и XVIII вв. понимали ее как отношение мгновенного
7.1. Задачи, приводящие к понятию производной 105
отрезка пути к мгновенному отрезку времени. Мгновенный отрезок они понимали не как переменную величину, а как постоянную величину — некоторое число. В результате часто возникало
«число» -, которое в одних случаях оказывалось равным 1, в
других — 2 или еще какому-либо числу. Это приводило к противоречиям и вместе с другими подобными противоречиями породило кризис математики, который был преодолен только с введением понятия предела и уточнением понятия функции. Сейчас под мгновенной скоростью понимается предел средней скорости, которая рассматривается как переменная от промежутка времени величина.
Дадим более подробное и точное определение мгновенной скорости.
