Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
К моменту времени to пройденный путь равен s(to), а к моменту to + At — «s(to + At). За промежуток времени At пройденный путь составит As = 5(to + At) — 5(to). Средняя скорость на промежутке As составит
- ^1 Vcp ~ At'
Чем меньше At, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени to- Поэтому скоростью точки в момент to называют предел средней скорости за промежуток от to до to + At, когда At —> 0, т. е.
г;(to) = lim vrn = lim v uy At^o p At^o At
Мгновенную скорость используют не только в физике. В социально-экономических задачах понятие мгновенной скорости используется при определении скорости роста объемов продукции, скорости распространения рекламы, скорости роста трудоспособного населения и т. п.
3. Производительность труда. Пусть функция Q(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент to-
За период времени от to до to + At количество произведенной продукции изменится от значения Q(to) до значения Q(to + At),
106
Гл. 7. Производная
т. е. на AQ = Q(to + At) — Q(to); тогда средняя производительность труда за этот период времени иср = Под производительностью труда в момент to естественно понимать предельное значение средней производительности за период времени от to до to + At при At —» 0, т. е.
u(to) = lim Qcv = lim
Таким образом, производительность труда роста объема продукции.
это скорость
4. Предельный продукт. Пусть функция Q(x) выражает зависимость количества произведенной продукции от величины затрат х.
AQ
есть средняя величина продукта, соответству-
Отношение
ющая величине затрат в размере Ах. Под предельным продуктом или маржинальным продуктом при затратах xq в экономике понимают следующий предел:
MQ(xo) = lim Qcv = lim
Аж^О Аж^О Ах
7.2. Определение производной
Рассматривая различные по характеру задачи, мы пришли к пределу одного вида
lim %L.
Аж^О Ах
Этот предел очень часто используется в различных областях науки. Поэтому ему дали отдельное название — производная. Дадим общее определение производной.
Пусть у = f(x) определена на промежутке X. Дадим значению xq Е X приращение Ах ф 0, тогда функция получит приращение Ay = f(x0 + Ах) - f(x0).
Определение. Производной функции у = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
/ Ау
у = 11 г г 1 -—.
Аж->0 Ах
7.2. Определение производной
107
Термин «производная» был введен Лагранжем на рубеже XVIII и XIX вв. Он означает, что производная функции f(x) есть некоторая функция f'(x), произведенная (т. е. полученная по определенным правилам) из данной функции.
ЛАГРАНЖ (Lagrange) Жозеф Луи (1736-1813) - французский математик и механик, член Берлинской и Парижской Академий наук. Родился в семье обедневшего чиновника. Самостоятельно изучал математику. В 18 лет стал преподавателем училища, в 19 лет — профессором, в 23 года — академиком. Одна из его книг, знаменитая «Аналитическая механика», представляет собой систематическое построение механики методами анализа; в этой книге нет ни одного чертежа — все основано только на формулах. Он сделал массу открытий. Парижская АН пять раз присуждала ему премии. В математике и механике его именем названы несколько методов, формул и теорем.
Нахождение производной называется дифференцированием этой функции.
Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.
Производная функции имеет несколько обозначений:
у' (обозначение Лагранжа, читается: «игрек штрих»);
^у- (обозначение Лейбница, читается: «дэ игрек по дэ икс»); ах
у (обозначение Ньютона, читается: «игрек с точкой»);
Dy (обозначение Коши, читается: «дэ игрек»).
Все эти обозначения используются в современной математике и сейчас. Обозначение Лейбница используется преимущественно в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (оно удобно, например, при решении так называемых уравнений с разделяющимися переменными). Обозначение Коши используют чаще в теории уравнений математической физики. Обозначением Ньютона пользуются тогда, когда хотят подчеркнуть, что роль независимой переменной играет время.
Мы будем пользоваться преимущественно простыми обозначениями Лагранжа. В тех случаях, когда необходимо указать значение независимой переменной хо, ПРИ котором вычисляется производная, вместо у1 будем писать у'(хо). А в тех случаях, когда может возникнуть сомнение относительно переменной, по которой взята производная, эта переменная указывается в виде
108
Гл. 7. Производная
значка внизу:
Ух> /ж(жо).
В предыдущем параграфе было показано, что тангенс угла наклона (угловой коэффициент) касательной и скорость прямолинейного движения выражаются с помощью производной. Эти выражения характеризуют геометрический и механический смысл производной.
Геометрический смысл производной. Для функции у = f(x) ее производная у' = f'(x) для каждого значения х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке.
