Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Механический смысл формулы — = -——. Производ-
ная ^ — скорость изменения функции при данном значении ж, dy Л
—— — скорость изменения функции при данном значении и, аи
du ,
а — — скорость изменения и при данном значении х. Формула ах
означает, что скорость изменения переменной у относительно переменной х равна произведению скоростей изменения переменной у относительно переменной и и переменной и относительно х. Если у изменяется, например, в 3 раза быстрее, чем и, аи изменяется в 2 раза быстрее, чем ж, то у изменяется в 3-2 = 6 раз быстрее, чем х.
118
Гл. 8. Основные теоремы о производных
Из доказанных правил вытекают свойства дифференциала:
'и\ v du — udv
d(u ± v) = du ± dv,
d
. v J V"
d(u v) = udv + v du, df(u) = f'(u) и dx = f'(u) du.
5. Дифференцирование обратной функции. Если у = = f(x) и х = g(y) — взаимно-обратные дифференцируемые функции и у'х ф О, то
ХУ ~ '
т. е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции:
п ' г Ах г 1 1 1 ¦
? xq. = пт -— = lini —г— = -т— = —г. ш
У ду-ю Ау Ау^о &У_ Ит у'х
Ах Ау^-о Ах
8.2. Производные основных элементарных функций
Выведем формулы производных основных элементарных функций.
1. Производная логарифмической функции. Пусть у = In ж.
1. Фиксируем значение х аргумента функции и выписываем исходное значение функции f(x) = In ж.
2. В точке х аргументу придаем приращение Ах ф О и выписываем новое значение функции f(x + Ах) = 1п(х + Ах).
3. Вычисляем приращение функции:
Ay = f(x + Ах) — f(x) = \п(х + Ах) — In х =
= ln (?±^?) = in (i + ^
4. Составляем отношение ^^-:
Ах
8.2. Производные основных элементарных функций
119
5. Находим предел этого отношения при Ах —> 0:
у' = lim ^ = lim J- In (1 + — ) .
Дж->о Ах Дж->о Ах \ х )
Ах
Обозначив — = у, найдем Ах = х у и
/ . 1 1 1
у = lim — 1п(1 + у) = — lim 1п(1 + у) у .
и Дж^о ху v и) х у-ю v и)
В силу непрерывности логарифмической функции, меняем местами символы предела и логарифма, а затем используем определение числа е:
' 1 1
у = ~ In
х
lim (1 + у)
у->0
1 1 1
= — In е = —.
х х
Итак,
(In ж)' = -.
Пусть у = \oga х. Найдем у':
v/ /1пж\' 1
/ /1 ч/ /1пж\ 1 , w 1
// = (log. ж) = -— = -— Inх) = —-—.
т. е.
2. Производная показательной функции. Пусть у = ех.
Прологарифмируем обе части равенства по основанию е, получим In у = х. Дифференцируя обе части по переменной х и учитывая, что In у — сложная функция, получим (In у)7 = х' у' л
или — = 1, откуда у = у, т. е. у
(ехУ = ех.
Таким образом, экспонента не изменяется при дифференцировании.
120
Гл. 8. Основные теоремы о производных
Если же у = аж, то
у' = (ахУ = [(elna)*]'= (ехЫа)\ и по правилу дифференцирования сложной функции у1 = ех Ыа(х In a)7 = ах -In а.
Итак,
(ахУ = ах lna.
3. Производная степенной функции. Теперь мы можем доказать формулу производной степенной функции у = жа для любого а. Действительно, In у = a In х. Дифференцируя обе ча-
1 , 1
сти равенства, получим - у = а • —, откуда
у х
I 1 a 1 a —1
у = у а — = х а — = а х ,
x x
т. е.
(ха) = ах
а-1
4. Производные тригонометрических функций. Если у = sin ж, то
, Ay s'm(x + Ах) — sin х
у = lim -— = lim —--——-=
Дж^о Ах Дж^о Ах
= lim
Дж->0
Ах
2 sin -у- cos
= lim
sin
Ах Ах
щи Л 2 • lim cos ( х Н--- ) = cos х
Дж^о Аж Дж->о V 2
(применили тригонометрическую формулу для разности синусов, учли первый замечательный предел и непрерывность функции cos х). Итак,
(sin x)f = cos ж.
8.2. Производные основных элементарных функций
121
Если у = cos х, то
(cos х)' = — sin ж.
Эта формула доказывается так же как и предыдущая. Если у = tgx, то
/ _ / sin х \' _ (sin х)' cos х — sin x(cos ж)' _
у
т. е.
COS x
cos2 ж
cos ж + sin х 1
cos2 x
2 ' COS ж
(tg*)' = ^
cos2 x
Формула
(ctga;)' =--r\
sin2 ж
доказывается аналогично.
5. Производные обратных тригонометрических функций. Верны следующие формулы:
(arcsin ж)7 = . . (arccos ж)7 =--^=L
лД-х2
л/Г- х2
(arctg ж)7 =
(arcctgx)7 =
l + xz
? Докажем первую из этих формул. Дана функция у =
7Г 7Г
= arcsin х, где — 1 ^ х ^ 1 и — — ^ ;/у ^ —. Обратная функция
/ / 71" ^
имеет вид ж = sin у, причем ху = cosy ф U, если — — < у < —.
Используя правило дифференцирования обратной функции, получаем
1 1 1
cos у
^1 - sin2
+
2/
y/i-x2
При х = ±1 производной не существует.
122
Гл. 8. Основные теоремы о производных
Итак
(arcsin х)' =
1
л/l - х2 '
Доказательство остальных формул аналогично. ¦
8.3. Таблица производных
При перемножении чисел в конкретных вычислениях используют не определение действия умножения, а таблицу умножения. (Определение используется только при доказательстве основных свойств умножения и различных теорем.)
Так же и с операцией дифференцирования. Используя определение производной, были доказаны правила дифференцирования и выведены формулы для вычисления производных основных элементарных функций. Определение производной понадобится также и в дальнейшем при доказательстве некоторых теорем. Однако в практических вычислениях оно не нужно. Для вычисления производной любой элементарной функции достаточно воспользоваться уже доказанными формулами. Для лучшего запоминания ниже приводится сводка всех основных формул. Будем пользоваться этой сводкой формул как таблицей умножения. Так же как и таблицу умножения, ее следует запомнить.
